P1313 计算系数

P1313 计算系数

题目描述
给定一个多项式 \((by+ax)^k\) ，请求出多项式展开后 \(x^n \times y^m\) 项的系数。

输入输出格式
输入格式：
共一行，包含 5 个整数，分别为 a ,b ,k ,n ,m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：
共1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对 10007 取模后的结果。

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错误日志： 又双叒叕没开 \(long long\)

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Solution

首先搞（补充）几个知识点：

组合数

首先是 \(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) ， \(C(n, m) = C(n, n - m)\)

递推：
\(C(n, m)\) ：看做新加入了一个元素， 有两个选择： 选进集合与不选进集合

对于选进集合的 \(C(n, m) += C(n - 1, m - 1)\)
对于没选进集合的 \(C(n, m) += C(n - 1, m)\)

\[C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m} \]

LL C[maxn][maxn];
void get_C(LL n){
	for(LL i = 1;i <= n;i++){
		C[i][0] = C[i][i] = 1;
		for(LL j = 1;j < i;j++){
			C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
			C[i][j] %= M;
			}
		}
	}

二项式定理

\[(a + b)^x=\sum_{k = 0}^{x}C_{x}^{k}a^{k}b^{x - k} \]

好了对于这题， 一个裸的二项式定理， 求解的即为 $$C_{k}^{n}ab^{m}$$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#define LL long long
using namespace std;
LL RD(){
    LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const LL maxn = 2019, M = 10007;
LL C[maxn][maxn];
void get_C(LL n){
	for(LL i = 1;i <= n;i++){
		C[i][0] = C[i][i] = 1;
		for(LL j = 1;j < i;j++){
			C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
			C[i][j] %= M;
			}
		}
	}
LL Q_pow(LL a, LL p){
	LL base = a, ans = 1;
	while(p){
		if(p & 1)ans *= base, ans %= M;
		base *= base, base %= M;
		p >>= 1;
		}
	return ans % M;
	}
LL a, b, k, n, m, ans;
int main(){
	a = RD(), b = RD(), k = RD(), n = RD(), m = RD();
	get_C(k);
	ans = (Q_pow(a, n) * Q_pow(b, m)) % M;
	ans = (ans * C[k][n]) % M;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
	}