P3224 [HNOI2012]永无乡

P3224 [HNOI2012]永无乡

题目描述
永无乡包含 n 座岛，编号从 1 到 n ，每座岛都有自己的独一无二的重要度，按照重要度可以将这 n 座岛排名，名次用 1 到 n 来表示。某些岛之间由巨大的桥连接，通过桥可以从一个岛到达另一个岛。如果从岛 a 出发经过若干座（含 0 座）桥可以 到达岛 b ，则称岛 a 和岛 b 是连通的。

现在有两种操作：

B x y 表示在岛 x 与岛 y 之间修建一座新桥。

Q x k 表示询问当前与岛 x 连通的所有岛中第 k 重要的是哪座岛，即所有与岛 x 连通的岛中重要度排名第 k 小的岛是哪座，请你输出那个岛的编号。

输入输出格式
输入格式：
第一行是用空格隔开的两个正整数 n 和 m ，分别表示岛的个数以及一开始存在的桥数。

接下来的一行是用空格隔开的 n 个数，依次描述从岛 1 到岛 n 的重要度排名。随后的 m 行每行是用空格隔开的两个正整数 a_i和 b_i，表示一开始就存在一座连接岛 a_i和岛 b_i 的桥。

后面剩下的部分描述操作，该部分的第一行是一个正整数 q ，表示一共有 q 个操作，接下来的 q 行依次描述每个操作，操作的 格式如上所述，以大写字母 Q 或 B 开始，后面跟两个不超过 n 的正整数，字母与数字以及两个数字之间用空格隔开。

输出格式：
对于每个 Q x k 操作都要依次输出一行，其中包含一个整数，表示所询问岛屿的编号。如果该岛屿不存在，则输出 −1 。

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\(Treap\) 的启发式合并。

什么是启发式合并呢？ 说得很高大上， 其实就是把 \(size\) 小的往 \(size\) 大的里丢。。

这里提供两种方案， 第一种， 遍历 \(size\) 小的 \(Treap\)， 将其节点作为一个新节点， 重新加入大的树， 也就是说， 丢弃之前的节点， 重新插入。 最坏的情况，每次以 \(2\) 倍合并（像 \(2048\) 那样）， 最坏情况空间为 \(2N\) 。

我采用的是将节点再加入新树的方式。 合并的时候直接用已有的编号， 等于回收了空间， 空间占用较小可是略显复杂

如何遍历一颗 \(Treap\) ？

采用 \(dfs\) 的方式。每个点只有两个儿子， \(dfs\) 很好写。不过有些细节需要注意， 我将节点新的初始化写在了 \(dfs\) 里， 比如在加入新树之前要将此节点的儿子清空（因为重要度不重复， 加入新树后必定是叶子节点）， 防止出现一些 玄学 错误

void add(int &id, int p, int v){
	if(!id){id = p;pushup(id);return ;}
	int d = v < val[id] ? 0 : 1;
	add(ch[id][d], p, v);
	if(dat[ch[id][d]] > dat[id])Rotate(id, d ^ 1);
	pushup(id);
	}

void dfs(int id, int &root){//注意引用来修改入口的根节点
	int v1 = ch[id][0], v2 = ch[id][1];
	ch[id][0] = ch[id][1] = 0;
	size[id] = 1;
	add(root, id, val[id]);
	if(v1)dfs(v1, root);
	if(v2)dfs(v2, root);
	}

如何开很多个 \(Treap\) 而不爆空间

且维护节点之间的关系？

维护节点之间的关系使用并查集即可。

刚开始想的是开 \(N\) 个 满大小的 \(Treap\) ，发现肯定会爆空间， 于是乎开每个点即可， 这里的 \(ch[maxn][2]\) 代表的就不是一颗 \(Treap\) 了， 而是一片森林中父亲与儿子的关系。 因为我们可以回收空间， \(ch\) 数组大小 开一倍即可。 因为有多颗树， 我们开一个 \(root[\ ]\) 表示某个节点的根节点， 考虑使用并查集维护即可。

int father[maxn];
int findfather(int v){
	if(father[v] == v)return v;
	return father[v] = findfather(father[v]);
	}
	
//---------------------------------------------------------------------
	
int num, ne, na;
void dfs(int id, int &root){
	int v1 = ch[id][0], v2 = ch[id][1];
	ch[id][0] = ch[id][1] = 0;
	size[id] = 1;
	add(root, id, val[id]);
	if(v1)dfs(v1, root);
	if(v2)dfs(v2, root);
	}	
void merge(int a, int b){
	int faA = findfather(a), faB = findfather(b);
	if(faA == faB)return ;//把A加入B
	if(size[root[faA]] > size[root[faB]])swap(faA, faB);
	dfs(root[faA], root[faB]);
	father[faA] = faB;
	}

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int RD(){
	int flag = 1, out = 0;char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
	return flag * out;
	}
const int maxn = 1000019, INF = 1e9 + 19;
int ch[maxn][2];
int size[maxn];
int val[maxn], dat[maxn];
int root[maxn], tot;
int New(int v){
	val[++tot] = v;dat[tot] = rand();
	size[tot] = 1;
	return tot;
	}
void pushup(int id){size[id] = size[ch[id][0]] + size[ch[id][1]] + 1;}
void Rotate(int &id, int d){
	int temp = ch[id][d ^ 1];
	ch[id][d ^ 1] = ch[temp][d];
	ch[temp][d] = id;
	id = temp;
	pushup(ch[id][d]), pushup(id);
	}

int get_val(int id, int rank){
	if(!id)return 0;
	if(size[ch[id][0]] >= rank)return get_val(ch[id][0], rank);
	else if(size[ch[id][0]] + 1 >= rank)return id;
	else return get_val(ch[id][1], rank - size[ch[id][0]] - 1);
	}
void add(int &id, int p, int v){
	if(!id){id = p;pushup(id);return ;}
	int d = v < val[id] ? 0 : 1;
	add(ch[id][d], p, v);
	if(dat[ch[id][d]] > dat[id])Rotate(id, d ^ 1);
	pushup(id);
	}

//--------------------------------------------------------------------

int father[maxn];
int findfather(int v){
	if(father[v] == v)return v;
	return father[v] = findfather(father[v]);
	}
	
//---------------------------------------------------------------------
	
int num, ne, na;
void dfs(int id, int &root){
	int v1 = ch[id][0], v2 = ch[id][1];
	ch[id][0] = ch[id][1] = 0;
	size[id] = 1;
	add(root, id, val[id]);
	if(v1)dfs(v1, root);
	if(v2)dfs(v2, root);
	}	
void merge(int a, int b){
	int faA = findfather(a), faB = findfather(b);
	if(faA == faB)return ;//把A加入B
	if(size[root[faA]] > size[root[faB]])swap(faA, faB);
	dfs(root[faA], root[faB]);
	father[faA] = faB;
	}
int main(){
	num = RD(); ne = RD();
	for(int i = 1;i <= num;i++)father[i] = i;
	for(int i = 1;i <= num;i++)root[findfather(i)] = New(RD());
	for(int i = 1;i <= ne;i++){
		int u = RD(), v = RD();
		merge(u, v);
		}
	na = RD();
	char cmd;
	for(int i = 1;i <= na;i++){
		cin>>cmd;
		if(cmd == 'Q'){
			int x = RD(), k = RD();
			int rt = root[findfather(x)];
			if(size[rt] < k)printf("-1\n");
			else printf("%d\n", get_val(rt, k));
			}
		else{
			int a = RD(), b = RD();
			merge(a, b);
			}
		}
	return 0;
	}