12硬币问题

知乎地址

感谢知乎让我看到这个有趣的问题，怕不是全贴最让人醍醐灌顶的一集（
本文主要说明本题解题方法及模型，并解释题目必须是12个硬币而不能再多的原因。
同时，根据以下推理，可知本题的解法大有所在。
结合其他观点和自己的小推理，发现这道题可以和小学教材上的“知轻重型”的称硬币题结合成一体，也都属于信息熵的范畴。只不过和小学教材上的题比起来，本题要改变一些思维条件。
注：小学教材题目（一般模型）：9 个配件，已知存在一个轻次品，要求 2 次得到该次品。
Part 1 解法 & 模型特征
和一般思路一样，为硬币编号为1,2,3,...,12，不同的是，硬币轻重未知，不妨令重为+，轻为-，则假硬币的可能解为1+,1-,2+,2-,3+,3-,...,12+,12-，共 24 种情况，定义完毕后，下面是推理。
同一般的称硬币题目，应把信息分散化，所以第一步自然地将 24 种情况拆为 8+8+8，不难想到可分为 1+ 1- 2+ 2- 3+ 3- 4+ 4- 和 5+ 5- 6+ 6- 7+ 7- 8+ 8- 和 9+ 9- 10+ 10- 11+ 11- 12+ 12-。这里出现了第一个不容忽视的客观条件是：n+ 与 n- 必须放一起。
这时称量结果会有三种情况，可以划归成两种，平衡/不平衡，默认1 2 3 4 硬币所在的组轻。对于平衡情况，剩下 8 个有效信息：9+ 9- 10+ 10- 11+ 11- 12+ 12-。对于非平衡情况，也只剩下 8 个有效信息：1- 2- 3- 4- 5+ 6+ 7+ 8+。这里又出现了与一般模型不同的逻辑条件：出现非平衡情况后，一般模型是拆成两个完全独立的部分，且每个部分的每个条件都满足情况。举个例子，在知道次品为轻者情况下，把 1 2 3 和 4 5 6 称出前者轻时，你立马知道 4 5 6 都是非次品，且 1是次品 2是次品 3是次品 都是合理的 。但在本题情况下，称出非平衡后，你会知道 1+ 2+ 3+ 4+ 1- 2- 3- 4- 中只有一半是对的，并且 5+ 6+ 7+ 8+ 5- 6- 7- 8- 中还有一半是对的。
你或许会觉得如此复杂？但事实是两个模型的区别也就在这了，接下来就顺水推舟得到解法了。那么下面加速讲完解法，这道题的解法也不是重点。
对于 9+ 9- 10+ 10- 11+ 11- 12+ 12- 共 8 种情况，第一感觉拆成 3 3 2，但实际不行——n+ 与n- 必须放一起。这时有读者常凭直觉会想到 9+ 9- 10+ 10- 和 11+ 11- 12+ 12-，但称的结果只会得到 9+ 10+ 11- 12- 或 9- 10- 11+ 12+ 四种情况，然而四种情况是不能一次称出的。所以我们自然地想到 9+ 9- 和 11+ 11- 12+ 12- 放天平上，即 9 号和 x 号一起（x 取 1~8 皆可，原因简单自行思考），11 和 12 一起。这时结果就拆分成了三组：9+ 11- 12- 和 9- 11+ 12+ 和 10+ 10- ，相互独立，对于前两种情况，11-/11+ 和 12-/12+ 放天平两端，第三种太简单，“留给读者自行思考”。
对于 1- 2- 3- 4- 5+ 6+ 7+ 8+，就略显随意了，可以拆成 1- 2- 3- 和 5+ 6+ 7+ 放天平，4- 8+ 不放，也可以向 Ted动画 那样分成1- 和 5+ 2- 3- 4- 放天平，6+ 7+ 8+ 不放，只要能使得称这一次得出的几个部分都<=3个信息就行，然后根据自己的心情选择一个解即可。
选择 1- 和 5+ 2- 3- 4- 作个阐释：放 1 x x x 到天平左边，2 3 4 5 右边，若左边轻，则留下信息 1- 5+，若右边轻，则留下信息 2- 3- 4-，平衡则留下信息 6+ 7+ 8+，接下来都很容易想，读者自行思考吧。
然后就解完了，顺便发现解法一抓一大把。
解法讲完了，还想看也拦不住你。
Part 2 Why $n_{Max}=12$
究其根本，还是模型的逻辑条件限制了 n 的取值（n为硬币数），注意到 n+ 和 n- 是绑在一起的，下文称此为捆绑性。不妨设 n=13，只能分成（4 4 5），算上+-便是（8 8 10），这个 10 很麻烦，顶多分成（3 3 4），根据捆绑性，真能不能分成 （3 3 4） 还不好说，况且就算可以，这个“4”也只能拆成（1 1 2），依旧有可能得不到答案。手推一下，n 再大些更不可能有解，所以那位外国人也只提了 n=12 的问题（很有趣，不清楚他提问的时候是否已经解出来了）。
基于这个模型的逻辑条件，我又想到了另外一个问题：现有 12 个硬币，有1个次品，其他11个硬币之间有细小的质量差别。给一个无刻度高精度天平，请分类讨论并求最小次数。