线性dp：LeetCode122.买卖股票的最佳时机ll

买卖股票

• 本文所讲解的内容与LeetCode122. 买卖股票的最佳时机ll，这道题题意相同，阅读完本文后可以自行挑战一下
• 力扣链接

题目叙述：

给定一个长度为N的数组，数组中的第i个数字表示一个给定股票在第i天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。

注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉悠前的股票)。一次买入卖出合为一笔交易。

输入格式：

第一行包含整数 N，表示天数。第二行包含N个不大于10000的正整数表示每天股票的价格。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

输入样例1

6
7 1 5 3 4 6

输出样例1

7

输入样例2

5
7 6 4 3 1

输出样例2

0

样例解释：

• 样例1:在第2天买入，在第3天卖出，这笔交易所能获得利润=5-1=4。随后在第4天买入，在第6天卖出,这笔交易所能获得利润=6-3=3。共得利润4+3 =7
• 样例2:在这种情况下,不进行任何交易，所以最大利润为 0。

动态规划思路讲解：

• 我们分析总利润可知，总利润是关于天数i 的函数，并且在第i天的时候，只有两种状态与之对应
  • 1.手中无票：dp[i][0]
  • 2.手中有票：dp[i][1]
• 所以说我们可以设置dp[i][0],dp[i][1] 为状态变量，然后进行状态的转移，最终得出我们需要的答案。

1.状态变量的含义

• dp[i][0]表示第i天，手中无票时能够获取的最大利润
• dp[i][1]表示第i天，手中有票时能够获取的最大利润

2. 递推公式

• 我们可以使用带权的有向图来生动的理解这个过程，我们要知道递推公式，就要了解状态转移的那个过程，也就是我们当前的状态是由以前的哪些状态推导而来。

  • 1. dp[i][0]表示第i天，手中无票时能获取的最大利润，我们可以通过dp[i-1][0] 和dp[i-1][1] ，也就是第i-1天，手中有票或者手中无票这两个状态推导而来，如果是第i-1天手中无票，那么表示没有发生交易，那么dp[i][0]=dp[i-1][0] ，反之，从i-1天有票到第i天无票，那么意味着我们在第i天卖掉了股票，此时dp[i][0]=dp[i-1][1]+w[i] ，由于我们是取最大利润，所以说是取二者的最大值，即：

    dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+w[i]);
    

  • 2. dp[i][1] 也是同理，跟上面的推导方式差不多，所以我就不在赘述了

    dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-w[i]);
    

• 所以说，总的递推公式如下：

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+w[i]);
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-w[i]);

3.如何初始化？

• 我们由这个递推公式，如何初始化边界条件呢？
• 假设我们从第1天开始，到第n天结束，那么我们第一天的两个状态就是边界条件

dp[1][0]=0;		//第1天无票的最大利润就是0
dp[1][1]=-w[1];  //第1天就有票证明我买了第一天的那个股票

4. 遍历顺序

• 由递推公式可知，我们的状态变量dp[i][0],dp[i][1]取决于dp[i-1][0],dp[i-1][1] 。所以说我们的遍历顺序是从前到后进行遍历。

5. 举例打印dp数组

• 在本题，读者可以自行在for循环内进行插入printf语句进行验证我们dp数组的正确性

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int w[N],dp[N][2];
int n;

int main(){
  scanf("%d", &n);
  for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]); 
     
  dp[1][0]=0; dp[1][1]=-w[1];
  for(int i=2; i<=n; ++i){
    dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+w[i]);    
    dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-w[i]);
  }
    //第n天的时候，手中无票一定是利润最大，所以说不用取二者最大值了。
  cout<<dp[n][0];
}

LeetCode122的参考代码

class Solution {
public:
	int maxProfit(vector<int>& prices) {
		vector<vector<int> > dp(prices.size(),vector<int>(2));
        //进行初始化条件
		dp[0][0] = 0;
		dp[0][1] = -prices[0];
		for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
			dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
		}
		return dp[prices.size() - 1][0];
	}
};