约数和倍数的性质

合集 - C++(22)

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约数（Divisors）

约数是指能整除某个整数的其他整数。例如，对于整数 ( a )，如果存在整数 ( b ) 使得 ( a = b*c )，那么 ( b ) 就是 ( a ) 的约数。

性质：

1. 1 和自身是每个整数的约数： 每个整数 ( a ) 都有至少两个约数：1 和 ( a ) 本身。
2. 约数的范围： 如果 ( d ) 是 ( n ) 的一个约数，则 ( d <=sqrt(n))。这意味着寻找 ( n ) 的约数时，只需要在 1 到 sqrt(n)范围内搜索。
3. 完全平方数的约数个数为奇数： 如果 ( n ) 是一个完全平方数，那么它的约数个数一定是奇数，因为完全平方数的平方根只有一个。

倍数（Multiples）

倍数是指某个整数的整数倍数。如果 ( a ) 是 ( b ) 的倍数，则存在整数 ( c ) 使得 ( a = b \times c )。

性质：

1. 倍数的性质： 如果 ( b ) 是 ( a ) 的倍数，那么 ( a ) 也是 ( b ) 的约数。
2. 倍数之间的关系： 如果 ( a ) 是 ( b ) 的倍数，那么 ( ka )（其中 ( k ) 是任意整数）也是 ( b ) 的倍数。
3. 最小公倍数（LCM）： 如果 ( a ) 和 ( b ) 是两个整数，则 LCM(a,b) 是同时是 ( a ) 和 ( b ) 的倍数的最小正整数。

示例和应用：

• 如果 ( a = 12 )，它的约数包括 ( 1, 2, 3, 4, 6, 12 )。
• 如果 ( b = 5 )，它的倍数包括 ( 5, 10, 15, 20,......)。

在数学和计算机科学中，理解和应用约数和倍数的性质对于解决整数分解、公约数和公倍数、最大公约数（GCD）、最小公倍数（LCM）等问题非常重要。

以下是找出n的所有约数的C++代码示例：

int find_divisors(int n, int a[])
{
	//作为数组下标的索引
	int index = 0;
	//不写成k*k<=n是因为k比较大时会超出long long的数据范围
	for (int k = 1; k <= n / k; k++) {
		if (n % k == 0) {
			a[index++] = k;
			//约数成对出现，但是要注意一下k=n/k可能会重复出现。（防止完全平方数的同一个约数重复出现）
			if (n / k != k) a[index++] = n / k;
		}
	}
	return index;
}