2 月日记

2.7

开文。

2.10

9 号有事没回学校，今天回来。

早上教练安排做了 6 道远古 ICPC 题，因为太困只想出一道题，却因为极限答案爆 longlong 且空间只有 64MB 被卡，寄。

赛时想到的题：Gym - 100217I。

记 $dp_{i,j}$ 表示将 $i$ 分成 $j$ 个的方案数，分情况讨论：

• 如果 $i > j$，$dp_{i,j} \leftarrow dp_{i-1,j-1} + dp_{i-j,j}$。。

• 否则，$dp_{i,j} \leftarrow dp_{i-1,j-1}$。

答案即为 $dp_{n,k}$。

赛后我补补补，现在（写日记）已经忘了好多思路。

Gym - 100861E

经过讲题人在台上一番讲解和不等式推到，我们得到 $T_i \times P_j < T_j \times P_i$ 的顺序是最优的，剩下的就是一个正常的背包然后记录方案。

Gym - 103049G

记 $dp_{i,j}$ 表示当前在第 $i$ 个环节，容错时间为 $j$ 的答案，倒推分情况讨论完美解决和吃罚时和重开的转移：

• 完美解决：$dp_{i,j} = p_{i+1} \times (t_{i + 1} -t_i + dp_{i+1,j})$

• 吃罚时但是不可以继续走：$dp_{i,j} += (1 - p_i) \times dp_{0,0}$

• 吃罚时但是需要重开：$dp_{i,j} += (1 - p_i) \times \min(dp_{0,0},t_{i+1} - t_i + d_i + dp_{i+1,j+d_i})$

但是我们发现，$dp_{0,0}$ 转移时既需要参与计算，它本身也会被更新，所以我们二分 $dp_{0,0}$。

2.11

早上 %你赛。

T1 区间dp

T2 矩乘线段树

T3 神秘构造

T4 bfs + 最小生成树神秘图论

2.12

codeforces Round 1004 div.2 掉大分。

A

硬控我 35min。

B

神秘小贪心。

C

神秘小贪心，暴力可过。

D

神秘小交互，但是询问了 $x_1,x_n$ 即可确定。

F

异或有一个性质：$x \oplus x = 0$，可以从这里入手。

我们记 $p_i$ 为 $a$ 数组的前缀异或和，我们会发现每次操作后 $P \oplus Q \oplus R = p_i$，所以说每次三元组的状态就是：

$$(p_i,x,x) \\ (x,p_i,x) \\ (x,x,p_i)$$

考虑它们从何转移而来，记 $dp_{i,x}$ 表示当前在 $i$ 三元组中相等两数值为 $x$ 的方案数。

首先对于 $(p_i,x,x)$，它是从 $(p_i \oplus a_i,x,x)$ 转移而来，根据异或的性质，$p_i \oplus a_i = p_{i-1}$，所以这里 $dp_{i,x} = dp_{i-1,x}$。

对于另外两种，当 $x = p_i$ 时，状态为 $(p_i,p_i,p_i)$，它可以从 $(p_{i-1},p_i,p_i),(p_i,p_{i-1},p_i),(p_i,p_i,p_{i-1})$ 任意一种转移过来，所以 $dp_{i,x} = dp_{i-1,x}$，当 $x = p_{i-1}$ 时，它可以从 $(p_{i-1},p_{i-1},p_{i-1})$ 转移，这样有三种方案，也可以从 $(p_{i-1},p_i,p_i),(p_i,p_{i-1},p_i),(p_i,p_i,p_{i-1})$ 共两种方案，注意到都只和 $i-1$ 有关，滚动数组优化，所以这样一番推导下方程就有了：

$$dp_{p_{i-1}} = dp_{p_{i-1}} \times 3 + dp_{p_i} \times 2$$

最后答案即为 $\sum\limits_{i=1}^{n}{dp_{p_i}}$。

数组开不下用 map 映射。

div.1 D1

记 $dp_{i,j}$ 表示第 $i$ 层楼发射飞机 $j$ 架，枚举发射的飞机数量，转移方程有：

$$dp_{i,j} \leftarrow dp_{i,j} + \sum\limits_{k=0}^{\min(j,c)}dp_{i-1,j-k}$$

当然你会发现方程缺了什么，注意到我们是从 $c$ 次发射中选择 $k$ 次，所以还需要一个系数 $\binom{c}{k}$，得到最终的柿子：

$$dp_{i,j} \leftarrow dp_{i,j} + \sum\limits_{k=0}^{\min(j,c)}{dp_{i-1,j-k} \times \binom{c}{k}}$$

最后答案即为 $dp_{n,m}$。

学线段树合并ing。

2.13

李超线段树题单。

CF932F Escape Through Leaf

有一个显然的 dp，我们记 $dp_u$ 表示从 $u$ 调到叶子的最小代价：

$$dp_u = \min\limits_{v \in sonTree_u}\{dp_v + A_u \times B_v\}$$

实际上我们要维护的就是斜率 $B_v$，截距 $dp_v$ 的直线在 $A_u$ 处的最小值，上李超树 + 线段树合并维护。

P3521 [POI 2011] ROT-Tree Rotations

题目中逆序对有三种：

1. 左子树。

2. 右子树。

3. 横跨左右子树。

显然交换左右子树的操作只会对情况 3 有影响，记 $cntV,cntU$ 分别表示交换 / 不交换子树的逆序对个数，$u,v$ 为当前的左右子树，$ls,rs$ 表示节点的左右子树，$lsSiz,rsSiz$ 为左右子树大小：

$$cntU \leftarrow cntU + (u \to rsSiz) \times (v \to lsSiz) \\ cntV \leftarrow cntV + (u \to lsSiz) \times (v \to rsSiz)$$

答案即为 $\sum{\min(cntU,cntV)}$。

2.14

情人节。

上午 %你sin。

T1

神秘结论题。

T2

T3

T4

2.16

下午返校。

听 Jmr 讲了点分治。

2.17

做点分治ing

一个字形容，nan

P3806 【模板】点分治 1

板。

P4178 Tree

要用线段树维护区间 $[0,k]$ 的答案。

P4149 [IOI 2011] Race

稍微变形，同时记路径上边数和权值。

P2664 树上游戏

在大脑极度不清醒的时候观察题解战胜的，寄。

P8726 [蓝桥杯 2020 省 AB3] 旅行家

记 $dp_i$ 表示在 $i$ 号岛屿停下的最大 $\text{RP}$ 值：

$$dp_i = \max\limits_{j=0}^{i-1}\{\frac{dp_j}{2} + T_i \times T_j - F_j\} \\ \Downarrow \\ \frac{dp_j}{2} - F_j = -T_i \times T_j + dp_i$$

注意到题目中 $T_i$ 保证有序，只需要维护上凸包，果断单调队列斜率优化 $O(n)$ 过掉。

2.18

上午 %你$\sin$，题比较难。

继续写淀粉质和李超树的题。

P3081 [USACO13MAR] Hill Walk G

如果说想从 $(x_1,y_1) \to (x_2,y_2)$ 的这座山跳到 $(x_1',y_1') \to (x_2',y_2')$ 的山，并且如果落到后继最高的山上，一定有 $x_2 \in [x_1',x_2')$ 且在 $x_2$ 处的纵坐标不大于 $y_2$，如果我们按 $x_1$ 给线段排序，得到的就是连续的线段，每次插入线段到李超树的 $[x_1',x_2')$，查询 $x_2$ 位置得到后继线段，这样如此下去直到无后继，统计即可，当然横坐标范围很大离散化，区间表示就用离散化后的。

晚上打 Edu，不要掉分不要掉分不要掉分不要掉分不要掉分不要掉分。

2.19

[空白.jpg]

2.20

上午 %你sin。

T1

解法整体最主要是证明期望的线性性。（期望可以看做概率成权值之和）

我们记 $t$ 事件的期望为 $E(t)$。

证明：$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

考虑 $E(X + Y)$ 的推导，记 $Range(X),Range(Y)$ 表示所有 $X,Y$ 事件情况，$P(x)$ 为概率：

$$\begin{aligned}E(X + Y) &= \sum\limits_{x \in Range(X)}{\sum\limits_{y \in Range(Y)}{(x + y) \times P(x,y)}} \\ &= \sum\limits_{x \in Range(X)}{\sum\limits_{y \in Range(Y)}{x \times P(x,y)}} + \sum\limits_{x \in Range(X)}{\sum\limits_{y \in Range(Y)}{y \times P(x,y)}} \\ &= \sum\limits_{x \in Range(X)}{x \sum\limits_{y \in Range(Y)}{P(x,y)}} + \sum\limits_{y \in Range(Y)}{y \sum\limits_{x \in Range(X)}{P(x,y)}} \\ &= \sum\limits_{x \in Range(X)}{x \times P(x)} + \sum\limits_{y \in Range(Y)}{y \times P(y)} \\ &= E(X) + E(Y)\end{aligned}$$

证毕。

所以记答案期望为 $E$：

$$E = 1 + P_2 + \dots + P_n$$

其中 $P_i$ 表示第 $i$ 堆在第 $1$ 堆之前被取走的概率，$P_i = \frac{a_i}{a_1 + a_i}$。

T2

去二份答案 $x$ 可以取得 $60$ 的好成绩，但是你会发现它是 $O(nm \log^2 n)$ 的复杂度。

题解的神奇做法：你会发现随机遍历 $x$ 使得当前答案更优的期望是 $\sum{\frac{1}{i}}$，是调和级数所以是 $O(\ln n)$ 的，然后我们令下一次的二分右端点为当前 $ans - 1$，这样就可以通过了。

nb.

T3

我会 $O(n 2^n)$！能够取得 $30$ 的好成绩！

略。

P5377 [THUPC 2019] 鸽鸽的分割

打表找规律，你会发现方案数是一个四阶等差数列。

2.21

P5563 [Celeste-B] No More Running

对于经过 $u$ 的路径，我们分为两类：

• $u$ 为点分治中心时，$u$ 到连通块其它节点的路径。

• 其它点分治中心遍历到 $u$ 时的路径。

第一种很好去求，第二种暴力的话是 $O(\left|u\right|^2)$ 的，无法接受。

你会发现题目中说不能走回头路，考虑用数据结构维护 $u$ 可以延展到的连通块，那么可以将第二种转换成两条第一种路径拼起来。

综上可得我们要求的是在模 $mod$ 意义下的 $\max{\operatorname{dis}(u,v1) + \operatorname{dis}(u,v2)}$ 且 $v1,v2$ 不在 $u$ 的同一子树内，然后你会发现 $\max{\operatorname{dis}(u,v1) + \operatorname{dis}(u,v2)} < 2 \times mod$，也就说他会超出至多一次。

分情况讨论：

• 超出 $0$ 次，$\operatorname{dis}(u,v2) < mod - \operatorname{dis}(u,v1)$ 最大时原式最大。
• 超出 $1$ 次，$\operatorname{dis}(u,v2) < mod < 2 \times mod - \operatorname{dis}(u,v2)$ 最大时原式最大。

你会发现我们需要一个满足单调性的数据结构，每次二分找到最大的满足条件的值。

考虑使用 $\text{multiset}$，每次更新答案前先删除之前的连通块。

CF1303G Sum of Prefix Sums

点分治，考虑将所求路径拆成两条，长度分别为 $len,len'$，点权分别为 $a,b$ 序列。

题目中要求前缀和的和，记 $s_i$ 为前缀和：

$$\begin{aligned} S &= s_1 + （s_1 + s_2） + \dots + s_n \\ &= \sum\limits_{i=1}^{n}{(n - i + 1) \times s_i} \\ &= (n + 1) \sum\limits_{i=1}^{n}{s_i} - \sum\limits_{i=1}^{n}{s_i \times i} \end{aligned}$$

记 $sum_A = \sum\limits_{i=1}^{len}{a_i},sum_B = \sum\limits_{i=1}^{len}{a_i \times i},sum_A' = \sum\limits_{i=1}^{len'}{b_i},sum_B'= \sum\limits_{i=1}^{len'}{b_i \times i}$，则所求路径权值根据上文所推式子：

$$(len + len' + 1) \times (sum_A + sum_A') - (sum_B + sum_B') - sum_A' \times len \\ \Downarrow \\ len' \times sum_A + (len + 1) \times sum_A - sumB$$

你会发现我在这里把只跟 $len',sum_A',sum_B'$ 有关的踢掉了，因为点分治之后肯定是会遍历到的所以不用管。

然后你就能轻松看出这是一个一次函数，看来我们只需要在把式子放到李超树上维护即可，但是你要注意，$u \to v$ 的路径权值可能和 $v \to u$ 的路径权值不同，所以正反都跑一遍。

UVA12161 铁人比赛 Ironman Race in Treeland

点分治！大力的点分治！啊哈哈哈！

然后呢，突然就不知道了（？

好像可以贪心？对于路径 $x,y$，记花费为 $C_x,C_y$，长度为 $L_x,L_y$，显然的，对于 $C_x \geq C_y,L_x \leq L_y$ 的情况 $y$ 一定是最优的。

这样做法就呼之欲出了（？

看来我们需要一个可以同时维护花费长度单调的数据结构，考虑使用 map，对于路径 $i$，我们每次查询满足 $C_i \leq m - C_i$ 最大的 $L_i$ 即可。

CF293E Close Vertices

显然，对于路径的限制条件多了一个。

采取了值域树状数组 + 双指针的操作，复杂度 $O(n \log^2 n)$。

然后就是点分治！大力的点分治！

2.23

打 usaco Sliver，证明了自己纯菜的成分。

T1

小清新贪心，人类智慧。

首先值从大到小下标从小到大排序，考虑怎么进行那一次更改位置最优，此时我们钦定当前一个候选的元素，我们去找下一个元素的位置，如果预备要更改元素在原数组中的下标比下一个元素大，并且当前候选元素的下标比下一个小，说明此时当前候选元素一定最优，将预备要更改的元素下标改成当前候选元素下标。

2.24

打了 1 月的 USACO。

要开始好好练思维了。

Anyway，听日式摇滚写代码确实不错。

2.25

%你sin。

T1

通过打表，我们发现：

$$\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\varphi(i^j)}} \\ \Downarrow \\ \sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{p}}{\varphi(i) \times i^{j-1}} \\ \Downarrow \\ \sum\limits_{i=1}^{n}{\varphi(i) \sum\limits_{j=1}^{p}{i^{j-1}}}$$

你会发现 $\sum\limits_{j=1}^{p}{i^{j-1}}$ 是等比数列，但是考场上的我并并不会等比数列求和。

看到这个式子我首先想到：一棵 $p$ 层的满二叉树节点数为 $2^p - 1$。

这样就是 $i = 2$ 的情况，以此类推，$i = 3$ 就是满三叉树，这样推出来通项 $\frac{i^p - 1}{i - 1}$。

incredible.

利用之前学习的线性筛 $\varphi(i)$，我们成功做到了 $O(n \log p)$ 的复杂度，你会发现 $n \leq 10^7,p \leq 10^9$，但是 $2s$ 时限，减少取模运算还是能过的。

拜谢 syq 同志 /bx /bx /bx /bx /bx /bx

T2

神秘题。

考虑从大到小插入每个点，于是只需要知道它有多少个位置可以插入，记数量为 $s$，如果当前加入
的点没有被钦定是叶结点，那么它不管插入在哪里都会让 $s$ 恰好增加 $1$；如果当前插入的点被钦定了是
叶结点，那么它不管插入在哪里都会让 $s$ 恰好减少 $1$。

于是会发现，从大到小插入时每个点能被插入的位置数量都是固定的，乘起来即可。

复杂度 $O(n)$。

T4

你说的对，但是 syq 先手。

找规律题。

偷个懒

2.26

一上午写了 $4$ 道做过的板子题，因为 Tarjan 成功的被我忘完了。

P11676 [USACO25JAN] DFS Order P

如果说原图没有边，那么最后要是 $[1,\dots,N]$ 的 dfs 序这张图一定会变成一颗树。

由于子树中的 dfs 序连续，加上 $N \leq 750$ 的数据范围，也许可以区间 dp。

记 $dp_{l,r}$ 表示 dfs 序中 $l$ 到 $r$ 区间满足条件的最小代价：

$$dp_{l,r} = \min\limits_{k=l}^{r-1}\{dp_{l,k} + dp_{k + 1,r} + a_{l,k+1}\}$$

但是它现在有边，既然有边那我们给它删成无边的就可以继续 dp 了。

我们会发现保证我们需要的是 dfs 树的前提下，多出来的一定是返祖边，这启发我们去修改转移式子，加上返祖边的影响。

dp 转移看做是合并 $[l,k],[k+1,r]$ 的两棵子树，这样一合并增加的返祖边就是 $(l,k+1),\dots,(l,r)$，这样一来代价就是连续的区间，前缀和维护，只加负的。

P3919 P3834 主席树

学新东西了喵。

2.28

补了昨天晚上 CF 的题。

E

你会发现满足的是 $tot_0 > tot_1 \times 3 + 1, tot_0 = tot_1 \times 3 - 1$ 的情况，这么看来我们选择权值树状数组维护。

遇 $0$ 则 $cnt \leftarrow cnt + 1$，遇 $1$ 则 $cnt \leftarrow cnt - 3$，每次查询和更新 $cnt$ 位置的值。

P1407 [国家集训队] 稳定婚姻

2-SAT + 缩点，如果说一对夫妻在同一 $\text{SCC}$ 则不安全。

P7251 [JSOI2014] 强连通图

对于第一个问题，答案就是最大的 $\text{SCC}$ 的大小。

对于第二个问题，因为选择出度为 $0$ 的点最后还是会要连入度为 $0$ 的点，因此反而选择两者之中最大值最优。

（直到 3.7 我才意识到这是 2 月日记）

$$\text{The End}$$

（移步 3月日记）