位姿估计(一)：三维空间中旋转的表示形式

三维空间中旋转的表示形式主要包括以下四种：

• 旋转矩阵 (Rotation Matrix)
• 旋转向量 (Rotation Vector)
• 欧拉角 (Euler angle)
• 四元数 (Quaternion)

表示类型	特点
Euler	xyz每个轴分别是多少度 (pitch, yaw, roll)
RMat	旋转矩阵: 用于3D点的矩阵运算
Rvec	旋转向量: 旋转作为自变量进行优化求解
四元数	用于游戏场景: 比如动画两个关键帧之间的插值

一、旋转矩阵

• 旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵；反之，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。
• 行列式为1的正交矩阵（正交矩阵：矩阵的逆等于转置 R_inv = R^T from world to camera --> from camera to world）

二、旋转向量

• 旋转矩阵不够紧凑，且旋转矩阵自带约束不利于优化求解
• 任何旋转可以用一个旋转轴 n 和一个旋转角 θ 来刻画：对应的旋转向量为θn
• 由旋转向量到旋转矩阵的过程由罗德里格斯 (Rodrigues's Formula) 来实现

三、欧拉角

• Pitch, Yaw, Roll分别对应xyz轴的旋转角度（for human reading）
• 欧拉角转为旋转矩阵（Euler2RMat）

四、四元数

TODO

参考资料

• 《视觉SLAM十四讲》Chapter3 三维空间刚体运动
• 欧拉角与旋转矩阵相互转换：https://programming-surgeon.com/en/euler-angle-python-en/
• Scipy.spatial库：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.spatial.transform.Rotation.html

SO(n)是特殊正交群

$$SO(n) = \{R\in\mathbb{R}^{n×n} | RR^T=I,det(R)=1\}$$ SO(n)是特殊正交群 (Special Orthogonal Group) 的意思，表示该集合由n维空间的旋转矩阵组成。特别地，SO(3)表示三维空间的旋转了。