矩阵求逆之伴随矩阵法

本文主要内容：伴随矩阵法矩阵求逆

一、原理/知识点

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$$

|A|为矩阵A的行列式。若|A|=0，则矩阵A为奇异矩阵 (Singular Matrix)，不存在逆矩阵。

A*为矩阵A的伴随矩阵：

$$A^{*}= \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33}\\ \end{array} \right)$$

二、练习/实践

数学例子

$$求矩阵 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0\\ 5 & 2 & 1\\ 4 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 的逆矩阵$$

解：

$$A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0\\ 5 & 2 & 1\\ 4 & 0 & 1\\ \end{array} \right)$$

|A|= -1 ≠ 0，所以A是非奇异矩阵，即矩阵A存在逆矩阵。

$$A^{*}= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 3\\ -1 & 1 & -1\\ -8 & 12 & -13\\ \end{array} \right)$$

所以

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}= \frac{1}{-1} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 3\\ -1 & 1 & -1\\ -8 & 12 & -13\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & -3\\ 1 & -1 & 1\\ 8 & -12 & 13\\ \end{array} \right)$$

是不是很简单呢？

三、具体应用：相机内参求逆

以针孔相机为例，相机内参矩阵K

$$K= \left( \begin{array}{ccc} f_x & 0 & c_x\\ 0 & f_y & c_y\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

利用伴随矩阵法求相机内参K的逆矩阵

$$K^{-1}=K_{inv}= \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{fx} & 0 & -\frac{cx}{fx}\\ 0 & \frac{1}{fy} & -\frac{cy}{fy}\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

参考资料

• 线性代数简介——五、利用伴随矩阵求逆矩阵,克莱姆法则,矩阵的秩