矩阵求逆之伴随矩阵法
本文主要内容：伴随矩阵法矩阵求逆
一、原理/知识点
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}
\]
|A|为矩阵A的行列式。若|A|=0，则矩阵A为奇异矩阵 (Singular Matrix)，不存在逆矩阵。
A*为矩阵A的伴随矩阵：
\[A^{*}=
\left(
\begin{array}{ccc}
A_{11} & A_{21} & A_{31}\\
A_{12} & A_{22} & A_{32}\\
A_{13} & A_{23} & A_{33}\\
\end{array}
\right)
\]
二、练习/实践
数学例子
\[求矩阵
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 0\\
5 & 2 & 1\\
4 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
的逆矩阵
\]
解：
\[A=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 0\\
5 & 2 & 1\\
4 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
\]
|A|= -1 ≠ 0，所以A是非奇异矩阵，即矩阵A存在逆矩阵。
\[A^{*}=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
-8 & 12 & -13\\
\end{array}
\right)
\]
所以
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}=
\frac{1}{-1}
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
-8 & 12 & -13\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-2 & 3 & -3\\
1 & -1 & 1\\
8 & -12 & 13\\
\end{array}
\right)
\]
是不是很简单呢？
三、具体应用：相机内参求逆
以针孔相机为例，相机内参矩阵K
\[K=
\left(
\begin{array}{ccc}
f_x & 0 & c_x\\
0 & f_y & c_y\\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
利用伴随矩阵法求相机内参K的逆矩阵
\[K^{-1}=K_{inv}=
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{fx} & 0 & -\frac{cx}{fx}\\
0 & \frac{1}{fy} & -\frac{cy}{fy}\\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
