01背包的推导

前言：太好了是动规我们没救了。

1.推导

背包容量为7，总共有四件物品，价值和重量表示为{v,w}，它们的价值和重量分别是1{2，3}，2{5，5}，3{1，1}，4{9，3}，求背包最多能装多少

开始推导：

i表示装前i个物品，背包容量为j。

dp[1][1]=0，显然是0，因为物品1的重量为3，你装答辩啊。
dp[1][2]=0，容量不够还是不行。
dp[1][3]=2，背包的容量刚好装的下物品1，获得该物品的价值2。
......
dp[1][7]=2，为什么省略？因为就装一个物品1，再怎么装还是2。

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dp[2][1]=0，容量是1你装史呢。
dp[2][2]=0，装不了，因为他善。
dp[2][3]=2，能装物品1，但物品2还是塞不进去。
........为什么省略，因为容量小于5且只装前2个就只能塞个物品1进去。
dp[2][5]=5，此时有两个选择，两个物品肯定是塞不进去的，装物品1还是物品2？显然是物品2，因为它的价值更大。
dp[2][6]=5，dp[2][7]=5，容量小，无法同时装下前两个物品。

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dp[3][1]=1，能装物品3。
dp[3][2]=1
dp[3][3]=?1?2?=2，可以装前三个，多了一个物品三，物品2装不下，只能在物品1和物品3选，显然装价值大的。
dp[3][4]=3，装物品1和物品3
dp[3][5]=5，选其中价值最大的，max(v[1],v[2],v[3]，v[1]+v[3])=5,
dp[3][6]=6，此时面临多种选择，可行的方案归纳为max(v[1],v[2],v[3],v[1]+v[3],v[2]+v[3])=max(2,5,1,3,6)=6。
dp[3][7]=6，同理。

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dp[4][1]=0,dp[4][2]=0。
dp[4][3]=9，显然是9，它比前面任何一个都大。
......
dp[4][4]=10，物品3和物品4。
.................同理
dp[4][7]=12，物品1+物品2+物品3。、
由此答案可得为12。

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慢慢推太慢了，要发现其中的规律，观察dp[1][1]=0,dp[2][1]还是0，或是dp[2][5]=5，dp[3][5]=5，发现后者等于前者，其实你可以发现它们装的东西(决策)是一样的，后者也许面临多种选择但它的前身任然是最佳的（你要记住dp的每一步都是当前情况最佳的，不会改变），这算是一种继承，于是可得 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$，但如果面临多种选择，它的前辈也许不再是局部最优解，那他就要重新作出选择，并进行比较，如上面的dp[4][3],它的前辈是dp[3][3]=2,因为此时i=4,所以这是它正在尝试把重量为3的物品4放进包里，要把物品4放进去，包的容积就减去3，得到上一次当包得容积为3-3=0时的局部最优解，也就是dp[3][0]=0，此时再加上物品4的价值就是9，那么dp[4][3]的一种选择就是9，要选最大，所以dp[4][3]=max(2,9)=9，我们可以发现9就是由dp[i-1][j-w[4]]+v[4]得来的，由此可得动态转移方程 $dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j])$ 。

1.1.优化空间

一但背包容量和物品数量变多了，就很容易爆空间，如dp[300][200000]，所以要优化。可以用一个一维数组来维护，由于一维数组会被覆盖掉，dp[i-1][j]的情况还好，直接就承接覆盖前的内容，刚好就是上一行的同个位置，但dp[i-1][j-w[i]]+v[i]的情况不仅要dp[i-1][j]的值，还要它之前的值，但它之前的值已经被覆盖了，所以不能从前往后推导，而是要倒着推，它不会覆盖掉前面数组的内容，也就是说它不会覆盖dp[j-w[i]]的值，从前往后推你会发现你会破坏上一行的值导致后面不能利用上一行（覆盖前）的值，其导致的结果是一个物品被多次利用。推导可得$dp[j-w[i]]=dp[i-1][j-w[i]],dp[j]=dp[i-1][j]$。也就是 $dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]])$。

2.看完的是这个