BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

　　1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

思路：

　　dp方程 F[i] = min{f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-L)^2} 我们把每件的c[i]都++，得到f[i]=min{f[j]+(sum[i]-sum[j]-(L+1))^2} 再让L++ 得到f[i]=min{f[j]+(sum[i]-sum[j]-L)^2}；

展开得到f[i]-sum[i]^2+2*L*sum[i]  =   -2*sum[i]*sum[j]+ f[j] +sum[j]^2 +L^2 +2*sum[j]*L

　　定义如下函数 ：

　　　　K(i) =  (-s[i])
　　　　B(i) = (f[i]+x[i]*s[i]-s1[i])
　　　　Y(i, j) =  (K(j)*x[i]+B(j)) = f[i]-sum[i]^2+2*L*sum[i]

　　　　K单调递减，sum 单调递增，若队尾和I构成的斜率斜率小于队尾二号和i构成的斜率，则弹出队尾；

　　　　考虑队首元素时，若Y（队首） >= Y(队首2号元素） 则弹出队首 。

代码如下 ：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
#define K(j) (-2*s[j])
#define B(j) (f[j]+s[j]*s[j]+L*L+2*s[j]*L)
#define Y(i,j) (K(j)*s[i]+B(j))
int q[60000],l,r;
int x,L,n,s[51000],f[51000];
bool cmp(int i,int j,int k) {
	int x=(K(i)-K(j))*(B(k)-B(i));
	int y=(K(i)-K(k))*(B(j)-B(i));
	return x>=y;
}
#undef int
int main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&L);
	int i;L++;
	for(i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%lld",&x);
		x++;
		s[i]=s[i-1]+x;
	}
	for(i=1;i<=n;i++) {
		while(l<r&&Y(i,q[l])>Y(i,q[l+1]))l++;
		f[i]=Y(i,q[l])+s[i]*s[i]-2*L*s[i];
		while(l<r&&cmp(i,q[r],q[r-1]))r--;
		q[++r]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
}

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