前尘篇----递归函数
归函数
递归函数（recursive function）就是方法自己调用自己。在直接递归种，递归函数 f 的代码包含了调用 f 的语句，而在间接递归中，递归函数 f 调用了 g , g 又调用了 h，如此进行下去，直到又调用了 f 。
递归的数学函数
数学中常有这样的函数，它自己定义自己。例如n的阶乘函数f(n) = n!，n为整数：
f(n) = ¦ 1 (n <= 1)
¦nf(n-1) n>1
当n小于或等于1时，f(n)的值为1，例如f(-3) = f(0) = f(1) = 1。当n大于1时，f(n)是递归定义的，因为右侧也有f。但这不会导致循环定义，因为右侧f的参数小于左侧f的参数。例如f(2) = 2f(1)，因为f(1) = 1，所以f(2) = 2*f(1) = 2*1 = 2，依次类推，f(3) = 3f(2) = 3* (2 * f(1)) = 3* (2* 1) = 6。
假定f(n)是直接递归的。要使函数f(n)的递归定义有一个完全的形式，需要满足如下条件：
（1）有一个基础部分（base component），它包含n的一个或多个值，最这些值，f(n)是直接定义的，即不用递归就能求解。为简单起见，我们假定f的定义域是非负整数，基础部分包括0<= n <=k，其中k为非负常数。（n>=k 的情形也是有可能的，但是很少见）
（2）在递归部分（recursive component），右侧f有一个参数小于n，因此重复应用递归部分可以把右侧f的表达式转变为基础部分。
在示例公式中，基础部分是f(n) = 1，n<=1；递归部分是f(n) = nf(n-1)，右侧f的参数是n-1，比n小，重复应用递归部分将f(n-1)变成f(n-2)，f(n-3)，……直到f(1)，而f(1)属于基础部分，例如：f(5) = 5f(4) = 5*(4f(3)) = 5*(4 * (3*f(2))) = 5* ( 4 * (3 * (2 * f(1) ) ) ) = 120* f(1)。注意，递归部分的每一次都使得我们更加高考金基础部分。最后应用基础部分，我们得到了f(5) = 120。
递归的另一个实例是斐波那契数列：F0 = 0,F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>1) （公式1-2）
其中F0和 F1是基础部分，Fn = Fn-1 + Fn-2是递归部分，右侧的函数参数比n小。要是公式（1-2）成为完全递归形式，从n>1开始反复应用递归部分，每次n的值都要减去1或2，最终将右侧F的表达式转化为基础部分的表达式。
数学中的归纳证明
归纳证明是与递归函数有关的第二个概念。
在一个归纳证明中我们要证明如下函数成立：
使用C++递归函数
正确的递归函数必须要包含基础部分。每一次递归调用，其参数值都比上一次的参数值要小，从而重复调用递归函数使参数值达到基础部分的值。例如我们使用递归函数来计算阶乘，其基础部分是f(n) = 1 ,n = 1.递归部分是 f(n) = n*f(n-1), n>1.那么这个递归过程我们可以用如下递归函数完成：
int factorial(int n) { //计算n! if(n <= 1 ) return 1; //基础部分 else return n*f(n-1); //递归部分 即 f(n) = n*f(n-1) }
这里在计算机具体实现的时候，是利用了栈帧结构。我们来考虑一下递归的过程，假设我们计算了f(3)，那么它的栈帧结构形貌大致如下：
| f(3)的栈帧：f(3）的形参入栈，f(3)的局部变量入栈，f(3)的返回地址入栈（下一条指令的地址）,f(3）的EBP入栈。（这时，形参的值没有达到基础部分的要求，那么递归调用f(2） |
| f(2)的栈帧：f(2)的形参入栈，f(2)的局部变量入栈，f(2)的返回地址入栈，f(2)的EBP入栈，一样的形参没有达到基础笨的的要求，那么递归调用f(1) |
| f(1)的栈帧：f(1)的形参入栈，f(1)的局部变量入栈，f(1)的返回地址入栈，f(1)的EBP如在，此时CPU在执行f(1)的代码时发行形参已经递归调用到了1，满足了基础本分的要求，那么此时f(1) = 1， f(1)退栈， |
递归调用到f(1)，可以计算出f(1)的值后f(1)退栈，此时，这个递归函数的栈帧结构为：
| f(3)的栈帧：f(3）的形参入栈，f(3)的局部变量入栈，f(3)的返回地址入栈（下一条指令的地址）,f(3）的EBP入栈。（这时，形参的值没有达到基础部分的要求，那么递归调用f(2） |
| f(2)的栈帧：f(2)的形参入栈，f(2)的局部变量入栈，f(2)的返回地址入栈，f(2)的EBP入栈，一样的形参没有达到基础笨的的要求，那么递归调用f(1) |
此时发（2）处于栈的最顶部，这意味着f(2)这个函数得到了被CPU执行的机会，f(2)在执行到return 2*f(1)，这条指令时，CPU将从EAX中拿f(1)计算的结果1，这事f(2)就被计算完了return 2，并把结果保存在EAX寄存器中，然后将f(2)的栈帧退栈。此时这个递归体系的栈帧结果如下：
| f(3)的栈帧：f(3）的形参入栈，f(3)的局部变量入栈，f(3)的返回地址入栈（下一条指令的地址）,f(3）的EBP入栈。（这时，形参的值没有达到基础部分的要求，那么递归调用f(2） |
这个时候，f(3)得到了被CPU执行的机会，在执行到return 3*f(2)这一句时，CPU将从EAX寄存器中拿到上一次函数执行的结果2，那么f(3)的结果就是3*2=6，CPU将这个结果保存在EAX寄存器中，等待其它函数使用，此时清理f(3)函数的栈帧。至此，这个递归过程全部执行结束。
对于C++的递归函数来说，递归终止条件决定了这个递归调用链有多长。
