「Day-1 提高笔记-割点(割边)」

割点(割边)

前置知识

首先是一些简单的基础。

1. 连通分量：在无向图中其实就是相当于连通块。
2. \(dfs\) 序：利用 \(dfs\) 在树上遍历的过程。
3. 割点：去除这个点后这个图的连通块又增加了。
4. 割边：去除这个边后这个图的连通块又增加了。

实现思路

如果我们在一个连通分量里面对任意一个点做 \(dfs\) 序，那么，会产生一个深度优先生成树 \(T\)。我们可以很显然的得到定理1.

定理1：如果 \(s\) 是 \(T\) 的根节点，且 \(s\) 有大于等于 \(2\) 个子节点，那么 \(s\) 为割点。

同时我们仔细想一想，如果一个一般的点 \(u\)，在什么情况下满足是一个割点呢？对，是当下面的子节点没有能退回 \(u\) 的父节点的时候。我们可以得到定理2。

定理2：如果 \(T\) 的非根节点 \(u\)，当且仅当 \(u\) 存在一个子节点 \(v\)，\(v\) 及其后代没有退回边连 \(u\) 的祖先，此时 \(u\) 为割点。

代码思路

根据定理1和定理2，我们应该如何编程实现呢？

设对于一个节点 \(u\)，其直接后代为 \(v\)。

1. 对于我们的 \(dfs\) 序，用 \(num\) 数组来记录对每个点的访问顺序，\(num\) 随着 \(dfs\) 的加深不断增大。
2. 对于我们的退回思路，定义 \(\text{low[v]}\) 表示 \(v\) 及其后代能回连到祖先的 \(num\) 值。如果 \(\text{low[v] >= num[u]}\)，就说明 \(v\) 一定没有回连的边，那么 \(u\) 一定是割点。这就是 定理2。

有趣的割边

对于以上的思路：如果将 \(\text{low[v] >= num[u]}\) 改为 \(\text{low[v] > num[u]}\)，这就是求割边的代码，为什么？原因在于如果 \(u\) 的后代最多只能回退到 \(v\)，就说明了边 \((u,v)\) 就是一条割边。

代码实现

P3388 【模板】割点（割顶）

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int MAXN = 2 * 1e4 + 5;
int low[MAXN], num[MAXN];
int tot = 0, n, m, ans = 0;
bool iscut[MAXN];
vector<int> G[MAXN];

void dfs(int u, int fa) {
    low[u] = num[u] = ++tot;
    int child = 0;
    for (int v : G[u]) {
        if (!num[v]) {
            child++;
            dfs(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);//用后代的值更新一下
            if (low[v] >= num[u] && u != fa) iscut[u] = true;//定理2
        }
		else if (num[v] < num[u] && v != fa) {//处理回连边
            low[u] = min(low[u], num[v]);
        }
    }
    if (u == fa && child >= 2) iscut[u] = true;//定理1
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!num[i]) dfs(i, i);//题目中说图可能不联通
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (iscut[i]) ans++;
    cout << ans << '\n';
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (iscut[i]) cout << i << ' ';
    return 0;
}