「2024 - 暑假 - Day-1 提高笔记-割点(割边)」

合集 - C++信息竞赛(17)

1.CSP考前2023-10-042.「Day 1—递归问题」2024-08-043.「Day 2—贪心问题&分治&前缀和」2024-08-054.「Day 3—深度优先搜索 & 广度优先搜索」2024-08-065.「Day 4—图的存储 & 图上搜索」2024-08-116.「Day 5—最短路径」2024-08-117.「Day 6—单调栈 & 单调队列 & 并查集」2024-08-118.「Day 7—离散化 & 树状数组 & 线段树」2024-08-129.「Day 8—最小生成树之Kruskal & Prim」2024-08-1210.「Day 9 & 10—DP问题」2024-08-1411.「Day 11 & 12 & 13 & 14—杂项」2024-08-17

12.「2024 - 暑假 - Day-1 提高笔记-割点(割边)」2024-10-09

13.「2024 - 暑假 - Day-2 提高笔记-字典树」2024-10-1614.【基础知识】2024-10-1815.「2024 - 暑假 - Day-3 提高笔记-ST表 & RMQ」2024-10-2216.「2024 - 暑假 - Day-4 提高笔记-LCA最近公共祖先」2024-10-2217.「2025 - 寒假 - Day-2 提高笔记-反悔贪心」01-22

收起

割点(割边)

前置知识

首先是一些简单的基础。

1. 连通分量：在无向图中其实就是相当于连通块。
2. $dfs$ 序：利用 $dfs$ 在树上遍历的过程。
3. 割点：去除这个点后这个图的连通块又增加了。
4. 割边：去除这个边后这个图的连通块又增加了。

实现思路

如果我们在一个连通分量里面对任意一个点做 $dfs$ 序，那么，会产生一个深度优先生成树 $T$。我们可以很显然的得到定理1.

定理1：如果 $s$ 是 $T$ 的根节点，且 $s$ 有大于等于 $2$ 个子节点，那么 $s$ 为割点。

同时我们仔细想一想，如果一个一般的点 $u$，在什么情况下满足是一个割点呢？对，是当下面的子节点没有能退回 $u$ 的父节点的时候。我们可以得到定理2。

定理2：如果 $T$ 的非根节点 $u$，当且仅当 $u$ 存在一个子节点 $v$，$v$ 及其后代没有退回边连 $u$ 的祖先，此时 $u$ 为割点。

代码思路

根据定理1和定理2，我们应该如何编程实现呢？

设对于一个节点 $u$，其直接后代为 $v$。

1. 对于我们的 $dfs$ 序，用 $num$ 数组来记录对每个点的访问顺序，$num$ 随着 $dfs$ 的加深不断增大。
2. 对于我们的退回思路，定义 $\text{low[v]}$ 表示 $v$ 及其后代能回连到祖先的 $num$ 值。如果 $\text{low[v] >= num[u]}$，就说明 $v$ 一定没有回连的边，那么 $u$ 一定是割点。这就是 定理2。

有趣的割边

对于以上的思路：如果将 $\text{low[v] >= num[u]}$ 改为 $\text{low[v] > num[u]}$，这就是求割边的代码，为什么？原因在于如果 $u$ 的后代最多只能回退到 $v$，就说明了边 $(u,v)$ 就是一条割边。

代码实现

P3388 【模板】割点（割顶）

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int MAXN = 2 * 1e4 + 5;
int low[MAXN], num[MAXN];
int tot = 0, n, m, ans = 0;
bool iscut[MAXN];
vector<int> G[MAXN];

void dfs(int u, int fa) {
    low[u] = num[u] = ++tot;
    int child = 0;
    for (int v : G[u]) {
        if (!num[v]) {
            child++;
            dfs(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);//用后代的值更新一下
            if (low[v] >= num[u] && u != fa) iscut[u] = true;//定理2
        }
		else if (num[v] < num[u] && v != fa) {//处理回连边
            low[u] = min(low[u], num[v]);
        }
    }
    if (u == fa && child >= 2) iscut[u] = true;//定理1
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!num[i]) dfs(i, i);//题目中说图可能不联通
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (iscut[i]) ans++;
    cout << ans << '\n';
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (iscut[i]) cout << i << ' ';
    return 0;
}