「Day 6—单调栈 & 单调队列 & 并查集」

单调栈

定义

单调栈，就是一个栈，不过栈内元素保证单调性。即，栈内元素要么从小到大，要么从大到小。
而单调栈维护的就是一个数前/后第一个大于/小于他的数。
直接看模板题。

P5788 【模板】单调栈

思路

首先 \(f(i)\) 表示的是从 \(i\) 之后第一个大于 \(a_i\) 的元素的下标。
我们可以维护一个单调栈，从栈底到栈顶安按从小到大的顺序，每次让下标入栈。

代码

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;

const int MAXN = 3 * 1e6 + 5;
stack<int> st;
int a[MAXN],ans[MAXN];

int main(){
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		cin >> a[i];
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
	//如果当前的点大于之前的点，将之前的点pop掉，维护单调
		while(!st.empty() && a[st.top()] <= a[i]) st.pop();
		ans[i] = st.empty() ? 0 : st.top();
		//将下标入栈
		st.push(i);
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		cout << ans[i] << " ";
	}
	return 0;
}

单调队列

定义

维护一个单调的队列，要么从队首向队尾递增，要么从队首向队尾递减。
实现可以手写一个队列来实现，见例题。

P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列

思路

在维护区间最大值的时候，从队首向队尾递增即可，反之。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 5;
int q[MAXN];
int a[MAXN];
int n,k;

int main(){
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		cin >> a[i];
	}
	int h = 1,t = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		while(h <= t && a[q[t]] >= a[i]){
			t --;
		}
		q[++ t] = i;
		if(q[h] < i - k + 1) h ++;
		if(i >= k) cout << a[q[h]] << " ";
	}
	cout << "\n";
	h = 1,t = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		while(h <= t && a[q[t]] <= a[i]){
			t --;
		}
		q[++ t] = i;
		if(q[h] < i - k + 1) h ++;
		if(i >= k) cout << a[q[h]] << " ";
	}
	
	return 0;
} 

并查集

定义

并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。

P3367 【模板】并查集

思路

首先我们要定义一个祖先数组 f，$ f(i) $ 表示 \(i\) 的祖先是谁。
因此我们要初始化 f 数组，对于 f[i] = i。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 1e4 + 5;
int n,m;
int f[MAXN];

int find(int b){
	return b == f[b] ? b : f[b] = find(f[b]); 
}

int main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) f[i] = i;
	for(int i = 1;i <= m;i ++){
		int op,x,y;
		cin >> op >> x >> y;
		int u = find(x);
		int v = find(y);
		if(op == 1){
			f[u] = v;
		}
		else if(op == 2){
			if(u == v){
				cout << "Y\n";
			}
			else{
				cout << "N\n";
			}
		}
	}
	
	
	return 0;
}

习题

P1551 亲戚

思路

这个题就是一道普通的板子题，不用思考。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

int m,n,p;
int a[100005];

inline int find(int b){
	return b == a[b] ? b : a[b] = find(a[b]);
}

inline void conect(int x,int y){
	a[find(y)] = find(x);
	return;
}

int main(){
	cin >> n >> m >> p;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) a[i] = i;
	int m1, m2;
	for(int i = 1;i <= m;i ++){
		cin >> m1 >> m2;
		conect(m1,m2);
	}
	for(int i = 1;i <= p;i ++){
		int x,y;
		cin >> x >> y;
		if(find(x) == find(y)) cout << "Yes\n";
		else cout << "No\n";
	}
	return 0;
}

P1536 村村通

思路

我们只需要判断有几个连通块，最后输出 n - 1 即可，只需要看自己的祖先是否是自己，若是自己，则说明有一个连通块。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 1e4 + 5;
int n,m,p;
int f[MAXN];

int find(int b){
	return b == f[b] ? b : f[b] = find(f[b]); 
}

int main(){
	while(cin >> n && n != 0){
		cin >> m;
		for(int i = 1;i <= n;i ++) f[i] = i;
		for(int i = 1;i <= m;i ++){
			int x,y;
			cin >> x >> y;
			int u = find(x),v = find(y);
			if(u == v) continue;
			f[u] = v;
		}
		int ans = 0;
		for(int i = 1;i <= n;i ++){
		//关注F[i]是否为i，是说明要么它一个点为一个连通块，要么就是它是集合的根
			if(find(i) == i){
				ans ++;
			}
		}
		cout << ans - 1 << "\n";
	}
	return 0;
}

P1892 [BOI2003] 团伙

思路

我们对于这道题，既要维护朋友关系，又要维护敌人关系，我们就要运用反集（种类并查集）。
我们开一个两倍大小的并查集。例如，假如我们要维护 \(4\) 个元素的并查集，我们改为开8个单位的空间：（半个友人区，半个敌人区）
如果 \(a\) 和 \(b\) 是敌人，那么合并 \(a\) 的敌人和 \(b\)，即合并 \(a + n\) 和 \(b\)，以及合并 \(a\) 和 \(b\) 的敌人，即合并 \(a\) 和 \(b + n\)。
同样的，如果 \(a\) 和 \(c\) 是敌人，那么合并 \(a\) 的敌人和 \(c\)，即合并 \(a + n\) 和 \(c\)，以及合并 \(a\) 和 \(c\) 的敌人，即合并 \(a\) 和 \(c + n\)。
如此一来 \(b\) 和 \(c\) 就在一个集合里面，\(b + n\) 和 \(c + n\) 也在一个集合里面。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 1e4 + 5;
int n,m,p;
//种类并查集，几种开几倍
int f[2 * MAXN];

int find(int b){
	return b == f[b] ? b : f[b] = find(f[b]); 
}

int main(){
	
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= 2 * n;i ++) f[i] = i;
	for(int i = 1;i <= m;i ++){
		char op;
		int x,y;
		cin >> op >> x >> y;
		if(op == 'F'){
			int u = find(x),v = find(y);
			if(u == v) continue;
			f[u] = v;
		}
		else if(op == 'E'){
			int u = find(x + n);
			int v = find(y + n);
			int a = find(x);
			int b = find(y);
			f[u] = b;
			f[v] = a;
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
	//康康有几个连通块
		if(f[i] == i){
			ans ++;
		}
	}
	
	cout << ans << "\n";
	
	return 0;
}