CF126A

Hot Bath 题解

题目简述

$5$ 个正整数 $t_1$，$t_2$，$x_1$，$x_2$，$t_0$。

这是一个简单的数学推理题。我们需要找到两个龙头的流速 $y_1$ 和 $y_2$，使得满足以下条件：

1. 最终水温不低于 $t_0$；

2. 在满足上一条的前提下，水温尽可能接近 $t_0$；

3. 在满足上一条的前提下，总流速尽可能大。

思路实现

根据题目描述，我们可以得出以下结论：

• 如果 $t_1\ge t_0$，那么只需打开冷水龙头即可，此时 $y_1$ 取最大值 $x_1$，$y_2$ 取 0。

• 如果 $t_2\le t_0$，那么只需打开热水龙头即可，此时 $y_1$ 取 0，$y_2$ 取最大值 $x_2$。

接下来我们考虑 $t_1<t_0<t_2$ 的情况。我们可以将问题分成两个子问题：

1. 打开冷水龙头，关闭热水龙头：此时只需调节冷水龙头的流速 $y_1$。根据公式 ${\displaystyle \frac{t_1\times y_1}{y_1}}=t_1$，我们可以得到此时的水温。如果水温小于 $t_0$，则继续减小 $y_1$ 的值；如果水温大于等于 $t_0$，则记录下此时的流速和水温差。

2. 打开热水龙头，关闭冷水龙头：此时只需调节热水龙头的流速 $y_2$。根据公式 ${\displaystyle \frac{t_2\times y_2}{y_2}}=t_2$，我们可以得到此时的水温。如果水温大于 $t_0$，则继续增大 $y_2$ 的值；如果水温小于等于 $t_0$，则记录下此时的流速和水温差。

最后，我们从两个子问题中找到水温差最小的情况即可。

Code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main(){
    long long t1, t2, x1, x2, t0;
    cin >> t1 >> t2 >> x1 >> x2 >> t0;

    double minDiff = 1e9; // 记录水温差的最小值
    pair<int, int> ans; // 记录结果

    // 子问题一：打开冷水龙头，关闭热水龙头
    for (int y1 = x1; y1 >= 0; y1--) {
        double temp = t1 * y1 / (double)y1; // 计算水温
        if (temp < t0) {
            break; // 水温小于 t0，继续减小 y1 的值
        }
        if (temp - t0 < minDiff) {
            minDiff = temp - t0;
            ans = make_pair(y1, 0);
        }
    }

    // 子问题二：打开热水龙头，关闭冷水龙头
    for (int y2 = x2; y2 >= 0; y2--) {
        double temp = t2 * y2 / (double)y2; // 计算水温
        if (temp >= t0) {
            break; // 水温大于等于 t0，继续增大 y2 的值
        }
        if (t0 - temp < minDiff) {
            minDiff = t0 - temp;
            ans = make_pair(0, y2);
        }
    }

    cout << ans.first << " " << ans.second << endl;

    return 0;
}

该解法的时间复杂度为 $O(x_1+x_2)$，即龙头的最大流速和。