DP背包-完全背包

背包问题-完全背包

例题

题目描述

此题和原题的不同点：

$1$. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

$2$. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 $t$ 和代表山洞里的草药的数目 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行两个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $a_i,b_i$ 分别表示采摘第 $i$ 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

完全背包模型与 $\text{0-1}$ 背包类似，与 $\text{0-1}$ 背包的区别仅在于一个物品可以选取无限次，而非仅能选取一次。

我们可以借鉴 $\text{0-1}$ 背包的思路，进行状态定义：设 $d{p}_{i,j}$ 为只能选前 i 个物品时，容量为 j 的背包可以达到的最大价值。

需要注意的是，虽然定义与 $\text{0-1}$ 背包类似，但是其状态转移方程与 $\text{0-1}$ 背包并不相同。

思路

可以考虑一个最暴力的做法：对于第 $i$ 件物品，枚举其选了多少个来转移。这样做的时间复杂度是 $\text{O(n^3)}$ 的（肯定爆炸）。

状态转移方程如下：
$d{p}_{i,j}=\underset{k=0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{max}}(d{p}_{i-1,j-k\times w_i}+v_i\times k)$

考虑做一个简单的优化。可以发现，对于 $d{p}_{i,j}$，只要通过 $d{p}_{i,j-w_i}$ 转移就可以了。因此状态转移方程为：

$d{p}_{i,j}=max(d{p}_{i-1,j},d{p}_{i,j-w_i}+v_i)$

理由是当我们这样转移时，$d{p}_{i,j-w_i}$ 已经由 $d{p}_{i,j-2\times w_i}$ 更新过，那么 $d{p}_{i,j-w_i}$ 就是充分考虑了第 $i$ 件物品所选次数后得到的最优结果。换言之，我们通过局部最优子结构的性质重复使用了之前的枚举过程，优化了枚举的复杂度。

代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 5;
const int maxW = 1e7 + 5;
int n, W, w[maxn], v[maxn];
long long f[maxW];

int main() {
  cin >> W >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> v[i];
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int l = w[i]; l <= W; l++)
      if (f[l - w[i]] + v[i] > f[l]) f[l] = f[l - w[i]] + v[i];  // 核心状态方程
  cout << f[W];
  return 0;
}