DP背包-01背包

背包问题-01背包

首先我们要明白什么是01背包，在下述例题中，由于每个物体只有两种可能的状态（取与不取），对应二进制中的 $0$ 和 $1$，这类问题便被称为$\text{「0-1 背包问题」}$。

题目描述

有 $N$ 件物品和一个容量为 $M$ 的背包。第 $i$ 件物品的重量是 $W_i$，价值是 $D_i$。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输入格式

第一行：物品个数 $N$ 和背包大小 $M$。

第二行至第 $N+1$ 行：第 $i$ 个物品的重量 $W_i$ 和价值 $D_i$。

输出格式

输出一行最大价值。

我们可以设状态$d{p}_{i,j}$为在能放前$n$个的前提下，容量为$j$的背包所能达到的最大值。
我们在对于第$i$个物品时，有以下两个选则：

• $d{p}_{i_j}=d{p}_{i_j-1}$ (不取)
• $d{p}_{i_j}=d{p}_{i_j}-w_i+d_i$ (取)

综合一下便是$d{p}_{i_j}=$$max$$(d{p}_{i_j-1},d{p}_{i_j}-w_i+d_i)$

这里如果直接采用二维数组对状态进行记录，会出现 MLE。可以考虑改用滚动数组的形式来优化。

因为对$d{p}_i$影响的只有$d{p}_{i-1}$,可以去掉第一维，直接用 $d{p}_i$ 来表示处理到当前物品时背包容量为 $i$ 的最大价值，得出以下方程：

• $d{p}_{i,j}=max(d{p}_{i-1,j},d{p}_{i-1,j-w_i}+v_i)$

综上所述

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 13010;
int n, W, w[maxn], v[maxn], f[maxn];

int main() {
  cin >> n >> W;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> v[i];  // 读入数据
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int l = W; l >= w[i]; l--)
      if (f[l - w[i]] + v[i] > f[l]) f[l] = f[l - w[i]] + v[i];  // 状态方程
  cout << f[W];
  return 0;
}