「codeforces - 1408I」Bitwise Magic

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记 $l = \lceil\log_2k\rceil$，在本题中你可以粗暴地认为 $l = 4$。

对于某一个 $x$ 而言，$x-0, x-1, \dots, x-k$ 有极强的相关性，具体而言有以下两种情况：

（1）$x$ 二进制下末 $l$ 位 $\geq k$，此时 $x-0\dots x-k$ 除了末 $l$ 位全部相同。

提前给答案异或上 $x$ 末 $l$ 位以外的位（这些位始终不变），不难发现 $x$ 有效部分其实只有末 $l$ 位。

（2）$x$ 二进制下末 $l$ 位 $< k$，此时取 $x$ 除末 $l$ 位以外的最低非零位 $p$。

那么 $x-0\dots x-k$ 除了末 $l$ 位，末 $l + 1\sim p$ 位一定形如 0...01 或 1...10，其他位始终相同。

一样可以发现 $x$ 有效部分仅取决于末 $l$ 位与 $p$。

这导出一个重要的事实：本质不同的 $x$ 只有 $O(c2^l) = O(ck)$ 种。

p.s.：我们稍后将会看到，这里的分析其实还导出了另一个非常重要的事实。

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我们记 $F(y, \mathrm s)$ 这个二元 GF，其中 $y$ 是 EGF，$\mathrm s$ 是集合幂级数，第 $y^i\mathrm s^j$ 项对应系数含义为 “选 $i$ 个数异或和为 $j$ 的方案数”。

容易发现，题目本身就是求 $n$ 个形如 $\left(\sum_{i=0}^k\frac{y^i}{i!}\mathrm s^{x-i}\right)$ 的二元 GF 的卷积。

由于我们将本质相同的 $x$ 放在了一起，问题变成求 $O(ck)$ 个形如 $\left(\sum_{i=0}^k\frac{y^i}{i!}\mathrm s^{x-i}\right)^t$ 的卷积。

将 $\mathrm s$ 视作主元做 fwt，只需要分别将每一位所有的 $(\sum_{i=0}^k a_iy^i)^t$ 卷起来，最后取第 $k$ 项并 ifwt 回去即可得到答案。

注意到项数只有 $O(k)$ 项，可以考虑做 $O(k^2)$ 的 ln + exp 优化求 $t$ 次幂的过程。由于始终是做卷积，可以在 ifwt 之前再 exp。

对 $O(ck)$ 个 GF 做 fwt 的复杂度为 $O(ck\times c2^c\times k)$（注意我们的对象是 $O(k)$ 的多项式）；

对 $O(ck)$ 个 fwt 后的每个多项式做 ln 的总复杂度为 $O(ck\times 2^c\times k^2)$（求 ln 时需要常数项为 1，注意处理符号）。

合并只需要对应位相加，复杂度为 $O(2^c\times ck\times k)$。

最后 exp 的总复杂度为 $O(2^c\times k^2)$。

最后 ifwt 的复杂度为 $O(c2^c)$。

由此，我们得到一个 $O((c+k)ck^22^c)$ 的朴素实现。

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一个简单的观察：$\left(\sum_{i=0}^k\frac{y^i}{i!}\mathrm s^{x-i}\right)$ 项数很少。考虑从此入手优化。

直接用定义做 fwt 可以做到 $O(ck\times k2^c)$。

依照 fwt 的定义，最后求 ln 的多项式一定形如 $1 + \left(\sum_{i=1}^{k} \pm\frac{y^i}{i!}\right)$，一共只会有 $O(2^k)$ 种可能性，因此做个 $O(2^k\times k^2)$ 的预处理即可。

这样可以将其优化到 $O(ck^22^c)$。

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回到一开始的性质。

情况（1）只有末 $l$ 项，这意味着 fwt 之后的结果本质只有 $2^l$ 个不同的位。

情况（2）虽然可能会有 $p$ 位发生改变，但它的信息量只有 $l + 1$ 位（其中一个信息为 “$l + 1\sim p$ 是 0...01 还是 1...10”），所以类似的有 fwt 之后的结果本质只有 $2^{l+1}$ 个不同的位。

严格来说，fwt 之后的结果只跟它们张成的线性空间维数有关。

这意味着我们可以将 $O(2^c)$ 的 fwt 缩成 $O(2^l) = O(k)$ 的 fwt（也没有预处理 ln 的必要了）。

如果不预处理 ln，则 fwt + ln 这两部分的复杂度降到 $O(ck\times 2^l \times k^2) = O(ck^4)$。

然而合并还是 $O(2^c\times ck\times k)$ 的复杂度，依然考虑把 $O(2^c)$ 降到 $O(2^l)$。

把情况（1）中的所有多项式，与情况（2）中 $p$ 相同的所有多项式先合并，复杂度变为 $O(2^c\times c \times k + 2^l\times ck \times k)$。

那么，最终的总复杂度为 $O(c(c+k)2^c + ck^4)$。

参考实现：https://codeforces.com/contest/1408/submission/114282085 。

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我并不太清楚异或卷积能否使用 ln + exp 优化幂运算，感觉不太懂，总之先跑路了。

希望有懂哥能教教我.jpg。