「codeforces - 1408I」Bitwise Magic
记 \(l = \lceil\log_2k\rceil\)，在本题中你可以粗暴地认为 \(l = 4\)。
对于某一个 \(x\) 而言，\(x-0, x-1, \dots, x-k\) 有极强的相关性，具体而言有以下两种情况：
（1）\(x\) 二进制下末 \(l\) 位 \(\geq k\)，此时 \(x-0\dots x-k\) 除了末 \(l\) 位全部相同。
提前给答案异或上 \(x\) 末 \(l\) 位以外的位（这些位始终不变），不难发现 \(x\) 有效部分其实只有末 \(l\) 位。
（2）\(x\) 二进制下末 \(l\) 位 \(< k\)，此时取 \(x\) 除末 \(l\) 位以外的最低非零位 \(p\)。
那么 \(x-0\dots x-k\) 除了末 \(l\) 位，末 \(l + 1\sim p\) 位一定形如
0...01或1...10，其他位始终相同。一样可以发现 \(x\) 有效部分仅取决于末 \(l\) 位与 \(p\)。
这导出一个重要的事实：本质不同的 \(x\) 只有 \(O(c2^l) = O(ck)\) 种。
p.s.：我们稍后将会看到，这里的分析其实还导出了另一个非常重要的事实。
我们记 \(F(y, \mathrm s)\) 这个二元 GF，其中 \(y\) 是 EGF，\(\mathrm s\) 是集合幂级数，第 \(y^i\mathrm s^j\) 项对应系数含义为 “选 \(i\) 个数异或和为 \(j\) 的方案数”。
容易发现，题目本身就是求 \(n\) 个形如 \(\left(\sum_{i=0}^k\frac{y^i}{i!}\mathrm s^{x-i}\right)\) 的二元 GF 的卷积。
由于我们将本质相同的 \(x\) 放在了一起，问题变成求 \(O(ck)\) 个形如 \(\left(\sum_{i=0}^k\frac{y^i}{i!}\mathrm s^{x-i}\right)^t\) 的卷积。
将 \(\mathrm s\) 视作主元做 fwt，只需要分别将每一位所有的 \((\sum_{i=0}^k a_iy^i)^t\) 卷起来，最后取第 \(k\) 项并 ifwt 回去即可得到答案。
注意到项数只有 \(O(k)\) 项，可以考虑做 \(O(k^2)\) 的 ln + exp 优化求 \(t\) 次幂的过程。由于始终是做卷积，可以在 ifwt 之前再 exp。
对 \(O(ck)\) 个 GF 做 fwt 的复杂度为 \(O(ck\times c2^c\times k)\)（注意我们的对象是 \(O(k)\) 的多项式）；
对 \(O(ck)\) 个 fwt 后的每个多项式做 ln 的总复杂度为 \(O(ck\times 2^c\times k^2)\)（求 ln 时需要常数项为 1，注意处理符号）。
合并只需要对应位相加，复杂度为 \(O(2^c\times ck\times k)\)。
最后 exp 的总复杂度为 \(O(2^c\times k^2)\)。
最后 ifwt 的复杂度为 \(O(c2^c)\)。
由此，我们得到一个 \(O((c+k)ck^22^c)\) 的朴素实现。
一个简单的观察：\(\left(\sum_{i=0}^k\frac{y^i}{i!}\mathrm s^{x-i}\right)\) 项数很少。考虑从此入手优化。
直接用定义做 fwt 可以做到 \(O(ck\times k2^c)\)。
依照 fwt 的定义，最后求 ln 的多项式一定形如 \(1 + \left(\sum_{i=1}^{k} \pm\frac{y^i}{i!}\right)\)，一共只会有 \(O(2^k)\) 种可能性，因此做个 \(O(2^k\times k^2)\) 的预处理即可。
这样可以将其优化到 \(O(ck^22^c)\)。
回到一开始的性质。
情况（1）只有末 \(l\) 项，这意味着 fwt 之后的结果本质只有 \(2^l\) 个不同的位。
情况（2）虽然可能会有 \(p\) 位发生改变，但它的信息量只有 \(l + 1\) 位（其中一个信息为 “\(l + 1\sim p\) 是 0...01 还是 1...10”），所以类似的有 fwt 之后的结果本质只有 \(2^{l+1}\) 个不同的位。
严格来说，fwt 之后的结果只跟它们张成的线性空间维数有关。
这意味着我们可以将 \(O(2^c)\) 的 fwt 缩成 \(O(2^l) = O(k)\) 的 fwt（也没有预处理 ln 的必要了）。
如果不预处理 ln，则 fwt + ln 这两部分的复杂度降到 \(O(ck\times 2^l \times k^2) = O(ck^4)\)。
然而合并还是 \(O(2^c\times ck\times k)\) 的复杂度，依然考虑把 \(O(2^c)\) 降到 \(O(2^l)\)。
把情况（1）中的所有多项式，与情况（2）中 \(p\) 相同的所有多项式先合并，复杂度变为 \(O(2^c\times c \times k + 2^l\times ck \times k)\)。
那么，最终的总复杂度为 \(O(c(c+k)2^c + ck^4)\)。
参考实现：https://codeforces.com/contest/1408/submission/114282085 。
我并不太清楚异或卷积能否使用 ln + exp 优化幂运算，感觉不太懂，总之先跑路了。
希望有懂哥能教教我.jpg。
