「codeforces - 838D」Airplane Arrangements

link。


在最后加一个空座位,将序列拆分成 “若干非空座位 + 一个空座位” 这样的段,一共会有 n+1m 个段。

fn 表示 n 个人最后坐到一起的方案数,记 F(x){fn} 对应的 EGF,则答案为 m![xm]Fn+1m(x)

考虑最后一个人坐的位置,容易得到如下递推式:

fn=(n+1)i=1n(n1i1)fi1fnifn(n1)!xn1=(n+1)i=1nfi1(i1)!xi1fni(ni)!xni

n+1 拆成 (i1)+(ni)+2,得到微分方程 F=2F2+2xFF

解该方程,得 F=exp(2xF)

如果记 T(x) 是有根树的 EGF(即 T/expT=x),事实上还有 F(x)=T(2x)/2x

求各位神仙给个双射构造。

现在代回,得:

m![xm]Fn+1m(x)=m![xm](T(2x)2x)n+1m=m!12n+1m[xn+1]Tn+1m(2x)=m!2m[xn+1]Tn+1m(x)

[xn]Tk 是个经典问题,利用拉格朗日反演易知它为 kn×nnk(nk)!

所以最终答案为 n+1mn+1×(2(n+1))m

posted @   Tiw_Air_OAO  阅读(121)  评论(0编辑  收藏  举报
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