「codeforces - 838D」Airplane Arrangements

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在最后加一个空座位，将序列拆分成 “若干非空座位 + 一个空座位” 这样的段，一共会有 $n + 1 - m$ 个段。

记 $f_n$ 表示 $n$ 个人最后坐到一起的方案数，记 $F(x)$ 为 $\{f_n\}$ 对应的 EGF，则答案为 $m![x^m]F^{n+1-m}(x)$。

考虑最后一个人坐的位置，容易得到如下递推式：

$$\begin{aligned} f_n &= (n+1)\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}f_{i-1}f_{n-i} \\ \frac{f_n}{(n-1)!}x^{n-1} &= (n+1)\sum_{i=1}^{n}\frac{f_{i-1}}{(i-1)!}x^{i-1}\frac{f_{n-i}}{(n-i)!}x^{n-i} \end{aligned}$$

将 $n + 1$ 拆成 $(i - 1) + (n - i) + 2$，得到微分方程 $F' = 2F^2 + 2xFF'$。

解该方程，得 $F = \exp(2xF)$。

如果记 $T(x)$ 是有根树的 EGF（即 $T/\exp T = x$），事实上还有 $F(x) = T(2x)/2x$。

求各位神仙给个双射构造。

现在代回，得：

$$\begin{aligned} &m![x^m]F^{n+1-m}(x) \\ =&m![x^m]\left(\frac{T(2x)}{2x}\right)^{n+1-m} \\ =&m!\frac{1}{2^{n+1-m}}[x^{n+1}]T^{n+1-m}(2x) \\ =&m!2^m[x^{n+1}]T^{n+1-m}(x) \\ \end{aligned}$$

求 $[x^n]T^k$ 是个经典问题，利用拉格朗日反演易知它为 $\frac{k}{n}\times\frac{n^{n-k}}{(n-k)!}$。

所以最终答案为 $\frac{n+1-m}{n+1}\times (2(n+1))^m$。