「hdu - 6593」Coefficient
首先使用 www.wolframalpha.com 发现答案形如 \(\frac{a^nb\times F_n(c)}{n!\times (c+1)^{n+1}}\)，其中 \(F_n(c)\) 是关于 \(c\) 的多项式。
作换元 \(t = ax + d\) 不难发现上述事实，且还有 \(\frac{1}{e^t + c} = \sum_n \frac{F_n(c)}{n!\times (c+1)^{n+1}}t^n\)。
展开得到：
\[\begin{aligned}
\frac{1}{e^t + c}
&= \frac{1}{c}\sum_i (-\frac{e^{t}}{c})^i \\
&= \frac{1}{c}\sum_i (-\frac{1}{c})^i\sum_n\frac{(it)^n}{n!} \\
&= \frac{1}{c}\sum_n\frac{t^n}{n!}\sum_i (-\frac{1}{c})^i\times i^n
\end{aligned}
\]
考虑经典问题：求 \(S = \sum_i a^ii^n\)。
一般来说是转下降幂 \(x^n = \sum_j j!{n\brace j}\binom{x}{j}\)，最后也能推出来。
考虑利用如下恒等式：
\[\begin{aligned}
x^n
&= \sum_i\left\langle\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\rangle \binom{x + i}{n} \\
\end{aligned}
\]
其中 \(\left\langle\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\rangle\) 是欧拉数。
代入可以得到：
\[\begin{aligned}
\sum_i a^ii^n
&= \sum_i a^i\sum_j\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle \binom{i + j}{n} \\
&= \sum_j\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle\sum_i a^i \binom{i + j}{n} \\
&= \sum_j\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle\frac{a^{n-j}}{(1-a)^{n+1}} \\
\end{aligned}
\]
回到题目，我们想求 \(\sum_i (-\frac{1}{c})^i\times i^n\)：
\[\begin{aligned}
\sum_i (-\frac{1}{c})^i\times i^n
&= \sum_j \left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle \frac{(-1/c)^{n-j}}{(1+1/c)^{n+1}} \\
&= \frac{\sum_j(-1)^{n-j}\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle c^{j+1}}{(c+1)^{n+1}} \\
\end{aligned}
\]
代入原式整合得到 \(F_n(c) = \sum_j(-1)^{n-j}\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle c^{j}\)。
求一行欧拉数可以利用 \(\left\langle\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\rangle = \sum_k \binom{n + 1}{k}(m + 1 - k)^n(-1)^k\) 做卷积。
最后多点求值即可。
