「hdu - 6593」Coefficient

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首先使用 www.wolframalpha.com 发现答案形如 $\frac{a^nb\times F_n(c)}{n!\times (c+1)^{n+1}}$，其中 $F_n(c)$ 是关于 $c$ 的多项式。

作换元 $t = ax + d$ 不难发现上述事实，且还有 $\frac{1}{e^t + c} = \sum_n \frac{F_n(c)}{n!\times (c+1)^{n+1}}t^n$。

展开得到：

$$\begin{aligned} \frac{1}{e^t + c} &= \frac{1}{c}\sum_i (-\frac{e^{t}}{c})^i \\ &= \frac{1}{c}\sum_i (-\frac{1}{c})^i\sum_n\frac{(it)^n}{n!} \\ &= \frac{1}{c}\sum_n\frac{t^n}{n!}\sum_i (-\frac{1}{c})^i\times i^n \end{aligned}$$

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考虑经典问题：求 $S = \sum_i a^ii^n$。

一般来说是转下降幂 $x^n = \sum_j j!{n\brace j}\binom{x}{j}$，最后也能推出来。

考虑利用如下恒等式：

$$\begin{aligned} x^n &= \sum_i\left\langle\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\rangle \binom{x + i}{n} \\ \end{aligned}$$

其中 $\left\langle\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\rangle$ 是欧拉数。

代入可以得到：

$$\begin{aligned} \sum_i a^ii^n &= \sum_i a^i\sum_j\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle \binom{i + j}{n} \\ &= \sum_j\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle\sum_i a^i \binom{i + j}{n} \\ &= \sum_j\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle\frac{a^{n-j}}{(1-a)^{n+1}} \\ \end{aligned}$$

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回到题目，我们想求 $\sum_i (-\frac{1}{c})^i\times i^n$：

$$\begin{aligned} \sum_i (-\frac{1}{c})^i\times i^n &= \sum_j \left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle \frac{(-1/c)^{n-j}}{(1+1/c)^{n+1}} \\ &= \frac{\sum_j(-1)^{n-j}\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle c^{j+1}}{(c+1)^{n+1}} \\ \end{aligned}$$

代入原式整合得到 $F_n(c) = \sum_j(-1)^{n-j}\left\langle\begin{matrix}n\\j\end{matrix}\right\rangle c^{j}$。

求一行欧拉数可以利用 $\left\langle\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\rangle = \sum_k \binom{n + 1}{k}(m + 1 - k)^n(-1)^k$ 做卷积。

最后多点求值即可。