「这是啥」关于三维偏序

证明我还活着的博客。

前排提醒：这个东西不是我在搞，是我看到学弟们在搞。我只是看了看，然后就被震撼到了。唉，果然是后浪啊。

众所周知如果给定若干三维点 $(x_i,y_i,z_i)$（为了方便，就假设所有 $x_i,y_i,z_i$ 分别互不相同好了）可以 cdq 分治求出 $x_i < x_j,y_i<y_j,z_i<z_j$ 的 $(i,j)$ 对数。然后这样子是 $O(n\log^2 n)$ 的。

然而可以考虑二项式反演。记 $f_k$ 表示恰好有 $k$ 维满足偏序，记 $g_k$ 表示钦定 $k$ 维满足偏序。那么有 $f_k=\sum(-1)^{p-k}\binom{p}{k}g_p$。

对于三维偏序有 $f_3=g_3,f_2=g_2-3g_3,f_1=g_1-2g_2+3g_3,f_0=g_0-g_1+g_2-g_3$。这其中 $g_0, g_1$ 可以直接算，$g_2$ 只需要做三次二维偏序，因此到这一步为止只需要 $O(n\log n)$ 的时间。

然而未知元数量太多，考虑继续找等量关系，由对称性可得 $f_3=f_0,f_2=f_1$，于是就可以消出 $g_3$，然后就做完了。

至此，我们得到了三维偏序的 $O(n\log n)$ 的做法。

---

然后是推广的问题，这个方法是否可以推广到 $k(k>3)$ 维上呢？

学弟的博客好像说可以，但我没有看懂（QAQ），我自己算出的结果是：对于 $k$ 为偶数的情况，该方法是不适用的，因为由对称性得到新等式中 $g_k$ 的系数会被消成 0。

但是对于 $k$ 为奇数的情况，可以变成求解若干次 $2\sim k-1$ 中所有偶数维偏序。

不过可以发现这个次数随 $k$ 指数级增长，所以该优化方法可能在三维偏序中才能发挥它最大的效用。

---

“后生可畏，焉知来者之不如今也？”