「这是啥」关于三维偏序

证明我还活着的博客。

前排提醒：这个东西不是我在搞，是我看到学弟们在搞。我只是看了看，然后就被震撼到了。唉，果然是后浪啊。

众所周知如果给定若干三维点 \((x_i,y_i,z_i)\)（为了方便，就假设所有 \(x_i,y_i,z_i\) 分别互不相同好了）可以 cdq 分治求出 \(x_i < x_j,y_i<y_j,z_i<z_j\) 的 \((i,j)\) 对数。然后这样子是 \(O(n\log^2 n)\) 的。

然而可以考虑二项式反演。记 \(f_k\) 表示恰好有 \(k\) 维满足偏序，记 \(g_k\) 表示钦定 \(k\) 维满足偏序。那么有 \(f_k=\sum(-1)^{p-k}\binom{p}{k}g_p\)。

对于三维偏序有 \(f_3=g_3,f_2=g_2-3g_3,f_1=g_1-2g_2+3g_3,f_0=g_0-g_1+g_2-g_3\)。这其中 \(g_0, g_1\) 可以直接算，\(g_2\) 只需要做三次二维偏序，因此到这一步为止只需要 \(O(n\log n)\) 的时间。

然而未知元数量太多，考虑继续找等量关系，由对称性可得 \(f_3=f_0,f_2=f_1\)，于是就可以消出 \(g_3\)，然后就做完了。

至此，我们得到了三维偏序的 \(O(n\log n)\) 的做法。

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然后是推广的问题，这个方法是否可以推广到 \(k(k>3)\) 维上呢？

学弟的博客好像说可以，但我没有看懂（QAQ），我自己算出的结果是：对于 \(k\) 为偶数的情况，该方法是不适用的，因为由对称性得到新等式中 \(g_k\) 的系数会被消成 0。

但是对于 \(k\) 为奇数的情况，可以变成求解若干次 \(2\sim k-1\) 中所有偶数维偏序。

不过可以发现这个次数随 \(k\) 指数级增长，所以该优化方法可能在三维偏序中才能发挥它最大的效用。

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“后生可畏，焉知来者之不如今也？”