「codeforces - 585E」 Present for Vitalik the Philatelist
description
给定序列 \(\{a\}\)，现需要从中选择非空子集 \(S\) 与不属于 \(S\) 的元素 \(x\)，满足 \(\gcd(x,S)=1,\gcd(S)\neq 1\)，求方案数。
solution
省去推式子的过程，得到答案为 \(\sum\mu(d)\times (s_d - n)\times (2^{s_d}-1)\)，其中 \(s_d\) 表示 \(d\) 的倍数个数。
枚举 \(d\) 的倍数计算 \(s_d\) 可以做到 \(O(A\ln A)\)（调和级数），在 \(A\leq 10^7\) 的时候比较危（虽然有人过了）。
如果把质数当作维数，根据唯一分解式可以确定所有正整数的高维坐标。做个类似高维前缀和即可。
时间复杂度类似于埃氏筛，为 \(O(A\ln\ln A)\)。
submission
details
关于时间复杂度为什么是 \(O(A\ln \ln A)\) 而不是 \(O(\frac{A}{\ln A}\times \ln A) = O(A)\)（虽然两者实际运行差别不大），直观来说就是素数分布并不是均匀的，严格证明我也不会。
update in 2021/01/31：狄利克雷前缀和用于解决 \(S(n) = \sum_{d|n} f(d)\) 形式的问题。
如果给定 \(f(n)\) 和积性函数 \(g(n)\)，我们还可以做 \(S(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)，一样按照每个质因子讨论。
这个复杂度为 \(O(\sum_{p\in prime}\sum_{k>0} \frac{n}{p^k})\)，由于 \(O(\sum_{k>0}\frac{1}{p^k})=O(\frac{1}{p-1})=O(\frac{1}{p})\)，因此复杂度依然为 \(O(N\ln\ln N)\)。
这个东西我没有实现过，仅限于口胡。
