「AGC046 补题记录」
省选晚上的 AGC，今天 vp 了一下，拿到了大众题数 ABCD。EF 题等我有时间再说吧。
目前进度 4/6。
A - Takahashikun, The Strider
answer = 360 / gcd(X, 360)
B - Extension
被这道 sb 题卡了，把 C 题切了过后回来才知道咋做。
第一想法：定义 f(i, j) 表示现在已有 i 行 j 列的方案数，枚举下一次填行/列。
为了避免算重，考虑怎么唯一生成一种方案：尽量先扩展行，再扩展列。
也就是说，扩展一连串列过后必须紧接扩展一行，且这一行必须在最新的列里填黑。
对应到 f(i, j) 的转移：
（1）扩展行：\(f(i-1,j)\times j\)
（2）扩展列：\(\sum_{k<j} f(i-1, k)\times (i-1)^{j-k}\)
初值为 \(f(A, B) = 1\)；最后答案为 \(\sum_{i=1}^{D} f(C,i)\times C^{D-i}\)。
时间复杂度 \(O(n^3)\)，随手优化一下 \(O(n^2)\)。
C - Shift
转化一下操作：设有 m 个 0，将序列分成 m + 1 段，第 i 段有 ai 个 1。
则操作等价于选择 i < j，ai++，aj--（aj > 0）。
从后往前 dp，定义 \(f(i, j, k)\) 表示处理到第 i 位，后面减了 j 次，当前总操作次数是 k。
枚举当前位最终状态是增加还是减少（注意不能考虑过程中的先增后减/先减后增，不然会算重）进行转移。
看起来是 \(O(m\times|S|^3)\)。
冷静分析一下发现 1 的总数只有 \(O(|S|)\) 个，如果我们每次 k 只取 \(\sum_{p>i} a_p\)，则总复杂度是 \(O(|S|^3)\)。
update in 2020/07/02：经评论提醒，这部分复杂度分析的关键在于，转移时枚举减少量的总量为 \(\sum a_i = O(|S|)\)，因此分析出来是 \(O(|S|^3)\)。
上面那种证明并不是本质问题所在（虽然看着很有道理）。
D - Secret Passage
记 \(f(i, x, y)\) 表示后 i 位固定，有 x 个自由的 0，有 y 个自由的 1，是否合法。
初始值 \(f(n, 0, 0) = 1\)，转移时枚举前两个是 0/1/2 个自由 0/1。
为了避免算重，如果 \(f(i, x, y)\) 对应的方案严格包含 \(f(j, x', y')\)（显然有 \(j > i\)），则最后将 \(f(j, x', y')\) 置为不合法。
记 \(g(i,x, y)\) 表示后 i 位固定，有 x 个自由的 0，有 y 个自由的 1，能够组合出的方案数。
边界状态 \(g(0, x, y) = \binom{x+y}{x}\)。
后 i 位构成的串一定是生成串的子序列，因此仿照子序列匹配的过程进行 dp 即可。
最后答案显然为 \(\sum f(i, x, y)\times g(i, x, y)\)。
E - Permutation Cover
下次一定。
F - Forbidden Tournament
下次一定。
