「codechef - KILLER」Painting Tree
设 \(x\) 为链的最高点，\(u\) 为链的最低点，则链的代价可记作 \(a_u \times dep^2_x + b_u \times dep_x + c_u\)。
其中，\(a_u = C_u, b_u = 2C_u^2 + C_u = 2a_u^2 + a_u\)，剩下的常数项 \(c_u\) 就不写了，不太重要。
我们尝试说明上式关于 \(dep_x\) 决策单调，即证明如下命题：
对于 \(c_1 \geq c_2\)，若 \(a_1x^2 + b_1x + c_1 < a_2x^2 + b_2x + c_2 (x > 0)\)，其中 \(b_1 = 2a_1^2 + a_1, b_2 = 2a_2^2 + a_2\)。
则对于任意 \(\Delta x \geq 0\)，都有 \(a_1(x + \Delta x)^2 + b_1(x + \Delta x) + c_1 < a_2(x + \Delta x)^2 + b_2(x + \Delta x) + c_2\)。
证明如下：
记 \(\delta_1 = (a_2x^2 + b_2x + c_2) - (a_1x^2 + b_1x + c_1) > 0\)。
记 \(\delta_2 = (a_2x + b_2) - (a_1x + b_1) > (c_1 - c_2)/x \geq 0\)。
记 \(\delta = (a_2(x+\Delta x)^2 + b_2(x+\Delta x) + c_2) - (a_1(x+\Delta x)^2 + b_1(x+\Delta x) + c_1)\)。
则：
\[\begin{aligned} \delta &= \delta_1 + \delta_2\times\Delta x + (a_2 - a_1)\times (\Delta x^2 + \Delta x) \\ &> (a_2 - a_1)\times (\Delta x^2 + \Delta x) \end{aligned} \]由于 \(\delta_2 > 0\)，将 \(b\) 代换成 \(a\) 可得 \((a_2 - a_1)(x+2a_1+2a_2+1) > 0\)，又有 \(a_1, a_2 \geq 0\)，故 \(a_2 > a_1\)。
又因 \(\Delta x > 0\) 时有 \((\Delta x^2 + \Delta x) > 0\)。由此，\(\delta > 0\)。
之后可以考虑用李超线段树维护，以 \(dep\) 为横坐标。
使用线段树合并即可快速维护子树内决策点，其他链的贡献通过打 tag 实现。
