@loj - 2985@ 「WC2019」I 君的商店
@description@
V 君、I 君和 Y 君是好朋友。
I 君最近开了一家商店，商店里准备了 N 种物品（编号为 0~N-1 中的整数），每种物品均有无限个可供出售，每种物品的单价是 0 或者 1。
V 君想知道每个物品的价格，他已经通过某种超自然力量知道，这 N 个物品里，价格是 1 的物品恰好有奇数/偶数个，且至少存在一个物品的价格是 1。
然而， V 君并不想自己去问 I 君，他选择了这样一种方法：他准备了 +∞ 的钱给 Y 君。然后让 Y 君帮他跑腿：每一次，他会给 Y 君指定两个非空物品集合 \(S, T\)（同一个集合内的物品必须两两不同，即每种物品在每个集合类最多包含一个），Y 君会跑到商店，分别买下这两个集合的物品，把他们送回来，并告诉 V 君哪个集合的物品价格之和更高。但是，当两集合价格之和相等的时候，Y 君会按照 I 君的指示来回答 V 君。
带着很多物品跑腿是一个很累的事情，因此，我们定义一次跑腿的体力消耗是 S + T。其中，S 表示集合 \(S\) 包含的物品个数。
你的任务是：写一个程序，帮助 V 君决定如何合理地让 Y 君跑腿，从而推算出每种物品的价值。Y 君的体力有限，你当然不能让他过于劳 累，也即，你不能让他的总体力消耗超过某个预设的阈值 M。
实现细节
你不需要，也不应该实现主函数，你只需要实现下列函数：
find_price(task_id, N, K, ans)
其中 task_id 表示子任务编号（见限制与约定）。N 表示物品个数，K 的意义为：
若 K=0，表示有偶数个物品价值为 1；
若 K=1，表示有奇数个物品价值为 1。
你需要将计算出的物品价格放在数组 ans[] 中，其中 ans[i] 表示编号为 i 的物品的价格。
你可以通过调用如下函数来向交互库发出询问：
query(S, nS, T, nT)
这里 nS=S,nT=T, 数组 S [0…(nS − 1)] 和数组 T [0…(nT − 1)] 分别描述两个集合，你需要保证：
nS, nT>0；
∀0≤i<nS,0≤S[i]<N；
∀0≤i<nT,0≤T[i]<N；
调用此函数一次的时间复杂度为 Θ(nS + nT)。它的返回值为 0 或 1，返回值的意义为：
若集合 S 的物品价格和更大，返回 0；
若集合 T 的物品价格和更大，返回 1；
否则，按照某种未知规则返回 0 或 1。
如题面所述，我们定义这样一次调用的代价为 nS+ nT。
评测时，交互库可能会调用 find_price 多次（不超过 10 次），每次调用代表一次新的猜价格游戏，所有的物品的价格都会被重新设定。
子任务
我们令代价之和的上界为 M，记答案数组为 ans[]：
子任务 1：N≤5，M=100；
子任务 2：N≤103，M=106；
子任务 3：N≤10^5，M=100，保证 ∀i<j<k，若 ans[i]=ans[k] 则必有 ans[j]=ans[i]。
子任务 4：N≤104，M=2×105；
子任务 5：N≤5×10^4，M=350100；
子任务 6：N≤10^5，M=500100。
提示
I 君可能并不愿意让 V 君知道每件物品的价格，在物品价格相等时，他会按照他自己的某种方式来回答问题。
@solution@
做交互题的第一步：首先应该先观察子任务分别的数据范围。
注意到一点：子任务 3 是无论任何都无法与其他子任务合并的。
我们就从子任务 3 下手。
注意到子任务 3 要么是 00...011...1 的形式，要么是 11...100...0 的形式。
不难想到去找这个分界点。而询问次数如此小（甚至不足 N），排列形式如此具有单调性，不难想到或许可以二分。
做这样的题还有一个原则：尽量简化问题。对应到这道题就是尽量少塞数在 S 与 T 中。
比如，如果令 nS = nT = 1，则可以得到 S 与 T 中的元素哪个大哪个小（但不能得到严格大于还是严格小于）。
我们可以通过一次 nS = nT = 1 的操作，比较序列开头与末尾，将子任务 3 统一转为 00...011...1 的形式。
注意到题目中提到序列中必定有一个 1，故我们的序列中最后一个元素一定是 1。
此时我们发现如果继续 nS = nT = 1 的操作，我们可能无法得到任何有用信息。我们就稍微扩大一点：令 nS = 2, nT = 1。
我们取相邻的两个数 a, b，则 a <= b。如果 a + b <= 1，则有 a 以及 a 之前的都为 0；否则如果 a + b >= 1，则有 b 以及 b 之后的都为 1。
因此我们就不断二分，取相邻的两个数 a, b 与最后那个 1 比较。
注意二分到最后可能剩一个无法判断，需要通过奇偶性来搞。
解决完子任务 3，我们再来看看其他子任务。
二分与什么最相配？排序。我们可以通过 nS = nT 的操作将这个序列 sort 一遍，再进行二分。
这样理论上能过前 4 个子任务，但实测好像第 4 个过不了。
看子任务 5，M = 7N + 100。后面那个 100 肯定是用来二分的，我们只需要考虑怎么能够在 7N 的次数内进行排序。
当 nS = nT = 1 时，是基于比较的排序，复杂度下限是 O(nlogn)。我们再次使用 nS = 2, nT = 1。
上面二分时使用的结论这里还可以用：当 a <= b 时，如果 a + b <= 1，则有 a 为 0；否则如果 a + b >= 1，则有 b 为 1。
因此我们先花 2*N 找到一个 1（找最大值），然后每次花 2 得到 a <= b 还是 a >= b，再花 3 得到 a + b 与 1 的关系。
这样就可以花 5 次确定 1 个数是 0 还是 1，最后剩下单独一个数无法判断，直接塞到 0 与 1 之间，然后二分。
看子任务 6，M = 5N + 100。
注意到我们子任务 5 中几乎就可以确定整个序列了，二分的作用微乎其微。
而子任务中 7N = 5N + 2N，2N 是找 1 的复杂度。我们是否可以省掉找 1 的过程？或者说，我们可以动态去找 1，边找 1 边排序？
如果 a + b <= c 且 a <= b，不管 c 是不是 1，一定有 a = 0。
如果 a + b >= c 且 a <= b，不管 c 是不是 1，一定有 b >= c。b 更有可能成为 1，因此接下来的比较中不等式右边就放 b。
由于 c 是之前的最大值，所以最终排好序后 c 一定可以在 b 的前一个（也就是说 c,b 相邻）。我们就确定了 c 与 b 的相对位置。
这样下来，我们得到了若干 = 0 的，和一条有序的链（互相之间确定了相对位置的数构成的链），和单独剩一个无法判断。
我们对这条链二分，将链分为若干 = 0 的，若干 = 1 的，一个无法判断的。
剩下两个无法判断的再根据奇偶性以及几次比较就可以判断出来了。
@accepted code@
#include<cstdio>
#include "shop.h"
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100000;
int num[MAXN + 5];
int S[MAXN + 5], T[MAXN + 5];
void solve(int N, int K, int ans[]) {
ans[num[N - 1]] = 1;
int L = 0, R = N - 1;
while( L + 1 < R ) {
int mid = (L + R + 1) >> 1;
S[0] = num[mid], S[1] = num[mid - 1], T[0] = num[N - 1];
if( !query(S, 2, T, 1) ) {
for(int i=mid;i<R;i++)
ans[num[i]] = 1;
R = mid;
}
else {
for(int i=L;i<mid;i++)
ans[num[i]] = 0;
L = mid;
}
}
if( L != R ) {
if( (N - R) % 2 == K )
ans[num[L]] = 0;
else ans[num[L]] = 1;
}
}
bool cmp(int a, int b) {
S[0] = a, T[0] = b;
return query(S, 1, T, 1);
}
vector<int>v;
void find_price(int task_id, int N, int K, int ans[]) {
if( task_id == 3 ) {
for(int i=0;i<N;i++)
num[i] = i;
S[0] = 0, T[0] = N - 1;
if( !query(S, 1, T, 1) )
reverse(num, num + N);
solve(N, K, ans);
}
else if( task_id <= 3 ) {
for(int i=0;i<N;i++)
num[i] = i;
sort(num, num + N, cmp);
solve(N, K, ans);
}
else if( task_id <= 5 ) {
int lp = 0, rp = N - 1, mx = 0;
for(int i=0;i<N;i++)
if( cmp(mx, i) ) mx = i;
num[rp--] = mx;
int p, q;
for(p=0,q=N-1;p<q;) {
if( p == mx ) p++;
else if( q == mx ) q--;
else {
S[0] = p, S[1] = q, T[0] = mx;
if( query(S, 2, T, 1) ) {
if( cmp(p, q) )
num[lp++] = p++;
else num[lp++] = q--;
}
else {
if( cmp(p, q) )
num[rp--] = q--;
else num[rp--] = p++;
}
}
}
num[lp++] = p;
solve(N, K, ans);
}
else {
v.clear();
int p, q, lp = 0, mx = N - 1; v.push_back(N - 1);
for(p=0,q=N-2;p<q;) {
if( p == mx ) p++;
else if( q == mx ) q--;
else {
S[0] = p, S[1] = q, T[0] = mx;
if( query(S, 2, T, 1) ) {
if( cmp(p, q) )
num[lp++] = p++;
else num[lp++] = q--;
}
else {
if( cmp(p, q) )
v.push_back(q), mx = q--;
else v.push_back(p), mx = p++;
}
}
}
int rp = N - 1;
for(int i=v.size()-1;i>=0;i--)
num[rp--] = v[i];
ans[num[N - 1]] = 1;
int L = rp + 1, R = N - 1;
while( L + 1 < R ) {
int mid = (L + R + 1) >> 1;
S[0] = num[mid], S[1] = num[mid - 1], T[0] = num[N - 1];
if( !query(S, 2, T, 1) ) {
for(int i=mid;i<R;i++)
ans[num[i]] = 1;
R = mid;
}
else {
for(int i=L;i<mid;i++)
ans[num[i]] = 0;
L = mid;
}
}// rp + 1 ~ L - 1 : 0
// R ~ N - 1 : 1
if( L != R ) {
if( (N - R) % 2 == K ) {
S[0] = num[L], S[1] = p, T[0] = num[N - 1];
if( query(S, 2, T, 1) ) // S <= T
ans[num[L]] = ans[p] = 0;
else ans[num[L]] = ans[p] = 1;
}
else {
S[0] = num[L], T[0] = p;
if( query(S, 1, T, 1) ) // S <= T
ans[num[L]] = 0, ans[p] = 1;
else ans[num[L]] = 1, ans[p] = 0;
}
}
else {
if( (N - R) % 2 == K )
ans[p] = 0;
else ans[p] = 1;
}
}
}
@details@
考场上想到二分，没想到排序，错失金牌，GG。
NOI 之前想写一下这道题练练手，结果没写出来，注定了我 NOI 只能打银的结局，GG。
现在总算是根据当时讲题的记忆勉强写了出来。。。
