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「群作用计数」Polya 定理

update in 2021/02/03:重构。这次抄一下 yhx 的冬令营员交 ppt。

部分记号和 ppt 里的不一样。


置换群 G 在大小为 n 的集合 X 上的作用 g:xg(x)

轨道 orb(x)={y|y=g(x)}

稳定化子 stab(x)={g|g(x)=x}

Xg 表示 g 下的不动点集合,记 X/G 表示 G 作用下的轨道集合。

轨道-稳定化子定理:|orb(x)|×|stab(x)|=|G|,拉格朗日定理(群论版)的推论。

burnside 引理:g|Xg||G|=|X/G|,轨道-稳定化子定理的推论。


定义染色 c:给 {1,2,,n} 中每个元素一种 “颜色” 的方案,并定义 c[i] 表示第 i 个元素的颜色。

定义置换群 G 在染色集合 X 上的作用:(gc)[i]=c[g1(i)]

定义置换 g循环指标g(t1,t2,,tn)=t#11t#22t#nn,表示循环分解后有 #i 个大小为 i 的循环(这里 ti 为形式变元)。

如果给定颜色生成函数 f(t)=witi,表示 “权值” 为 i 的颜色有 wi 种。

再记 F(t) 表示本质不同的染色的生成函数(轨道的生成函数之和)。

Pólya 定理:F(t)=g(f(t),f(t2),,f(tn))|G|,burnside 引理的推论。

同样适用于多元生成函数。


考虑 burnside 引理推广:对 gc[gc=c]w(g) 算两次(取 w(g)=1 即正常的 burnside)。

外层枚举 g,即 g|Xg|w(g)

外层枚举 c,即 cw(stab(c))

此处 ppt 似乎断言了 “则该轨道中所有染色共享一个稳定子群”。

存疑。

update:轨道内所有元素稳定子群共轭(置换共轭意味着循环指标相同),当 w(g) 只与循环指标有关时这套方法是可用的。

此时有:

OX/Gw(stab(O))×|O|=gG|Xg|×w(g)

w(g) 只与循环指标有关时,也可推广 Pólya 定理。

考虑 Pólya 定理的本质:对 gc[gc=c]w(g)×f(c) 算两次。

其中,轨道中 f 全部相同。


考虑群 G=Sn 的特例,此时 stab(c) 可以表示成若干 Si 的直和。

w(g)=sgn(g)(即偶置换为 1,奇置换为 1),则当且仅当 c 中颜色互不相同(即直和的所有因子都为 S1)才有值。

Pólya 容斥:OX/G[O]=sgn(g)×|Xg||G|

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