「群作用计数」Polya 定理

update in 2021/02/03：重构。这次抄一下 yhx 的冬令营员交 ppt。

部分记号和 ppt 里的不一样。

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置换群 $G$ 在大小为 $n$ 的集合 $X$ 上的作用 $g : x\to g(x)$。

轨道 $orb(x) = \{y|y = g(x)\}$。

稳定化子 $stab(x) = \{g|g(x)=x\}$。

记 $X^g$ 表示 $g$ 下的不动点集合，记 $X/G$ 表示 $G$ 作用下的轨道集合。

轨道-稳定化子定理：$|orb(x)|\times|stab(x)|=|G|$，拉格朗日定理（群论版）的推论。

burnside 引理：$\frac{\sum_g |X^g|}{|G|} = |X/G|$，轨道-稳定化子定理的推论。

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定义染色 $c$：给 $\{1,2,\dots, n\}$ 中每个元素一种 “颜色” 的方案，并定义 $c[i]$ 表示第 $i$ 个元素的颜色。

定义置换群 $G$ 在染色集合 $X$ 上的作用：$(g\circ c)[i] = c[g^{-1}(i)]$。

定义置换 $g$ 的循环指标为 $g(t_1,t_2,\dots, t_n) = t_1^{\#_1}t_2^{\#_2}\dots t_n^{\#_n}$，表示循环分解后有 $\#_i$ 个大小为 $i$ 的循环（这里 $t_i$ 为形式变元）。

如果给定颜色生成函数 $f(t) = \sum w_it^i$，表示 “权值” 为 $i$ 的颜色有 $w_i$ 种。

再记 $F(t)$ 表示本质不同的染色的生成函数（轨道的生成函数之和）。

Pólya 定理：$F(t) = \frac{\sum g(f(t),f(t^2),\dots,f(t^n))}{|G|}$，burnside 引理的推论。

同样适用于多元生成函数。

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考虑 burnside 引理推广：对 $\sum_g \sum_c [g\circ c = c]w(g)$ 算两次（取 $w(g) = 1$ 即正常的 burnside）。

外层枚举 $g$，即 $\sum_g |X^g|w(g)$。

外层枚举 $c$，即 $\sum_c w(stab(c))$。

此处 ppt 似乎断言了 “则该轨道中所有染色共享一个稳定子群”。

存疑。

update：轨道内所有元素稳定子群共轭（置换共轭意味着循环指标相同），当 $w(g)$ 只与循环指标有关时这套方法是可用的。

此时有：

$$\sum_{O\in X/G}w(stab(O))\times|O| = \sum_{g\in G}|X^g|\times w(g)$$

当 $w(g)$ 只与循环指标有关时，也可推广 Pólya 定理。

考虑 Pólya 定理的本质：对 $\sum_g \sum_c [g\circ c = c]w(g)\times f(c)$ 算两次。

其中，轨道中 $f$ 全部相同。

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考虑群 $G = S_n$ 的特例，此时 $stab(c)$ 可以表示成若干 $S_i$ 的直和。

取 $w(g) = sgn(g)$（即偶置换为 $1$，奇置换为 $-1$），则当且仅当 $c$ 中颜色互不相同（即直和的所有因子都为 $S_1$）才有值。

Pólya 容斥：$\sum_{O\in X/G}[O 颜色互不相同]=\sum\frac{sgn(g)\times|X^g|}{|G|}$。