「群作用计数」Polya 定理
update in 2021/02/03:重构。这次抄一下 yhx 的冬令营员交 ppt。
部分记号和 ppt 里的不一样。
置换群 G 在大小为 n 的集合 X 上的作用 g:x→g(x)。
轨道 orb(x)={y|y=g(x)}。
稳定化子 stab(x)={g|g(x)=x}。
记 Xg 表示 g 下的不动点集合,记 X/G 表示 G 作用下的轨道集合。
轨道-稳定化子定理:|orb(x)|×|stab(x)|=|G|,拉格朗日定理(群论版)的推论。
burnside 引理:∑g|Xg||G|=|X/G|,轨道-稳定化子定理的推论。
定义染色 c:给 {1,2,…,n} 中每个元素一种 “颜色” 的方案,并定义 c[i] 表示第 i 个元素的颜色。
定义置换群 G 在染色集合 X 上的作用:(g∘c)[i]=c[g−1(i)]。
定义置换 g 的循环指标为 g(t1,t2,…,tn)=t#11t#22…t#nn,表示循环分解后有 #i 个大小为 i 的循环(这里 ti 为形式变元)。
如果给定颜色生成函数 f(t)=∑witi,表示 “权值” 为 i 的颜色有 wi 种。
再记 F(t) 表示本质不同的染色的生成函数(轨道的生成函数之和)。
Pólya 定理:F(t)=∑g(f(t),f(t2),…,f(tn))|G|,burnside 引理的推论。
同样适用于多元生成函数。
考虑 burnside 引理推广:对 ∑g∑c[g∘c=c]w(g) 算两次(取 w(g)=1 即正常的 burnside)。
外层枚举 g,即 ∑g|Xg|w(g)。
外层枚举 c,即 ∑cw(stab(c))。
此处 ppt 似乎断言了 “则该轨道中所有染色共享一个稳定子群”。
存疑。update:轨道内所有元素稳定子群共轭(置换共轭意味着循环指标相同),当 w(g) 只与循环指标有关时这套方法是可用的。
此时有:
当 w(g) 只与循环指标有关时,也可推广 Pólya 定理。
考虑 Pólya 定理的本质:对 ∑g∑c[g∘c=c]w(g)×f(c) 算两次。
其中,轨道中 f 全部相同。
考虑群 G=Sn 的特例,此时 stab(c) 可以表示成若干 Si 的直和。
取 w(g)=sgn(g)(即偶置换为 1,奇置换为 −1),则当且仅当 c 中颜色互不相同(即直和的所有因子都为 S1)才有值。
Pólya 容斥:∑O∈X/G[O颜色互不相同]=∑sgn(g)×|Xg||G|。
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