「群作用计数」Polya 定理
update in 2021/02/03：重构。这次抄一下 yhx 的冬令营员交 ppt。
部分记号和 ppt 里的不一样。
置换群 \(G\) 在大小为 \(n\) 的集合 \(X\) 上的作用 \(g : x\to g(x)\)。
轨道 \(orb(x) = \{y|y = g(x)\}\)。
稳定化子 \(stab(x) = \{g|g(x)=x\}\)。
记 \(X^g\) 表示 \(g\) 下的不动点集合，记 \(X/G\) 表示 \(G\) 作用下的轨道集合。
轨道-稳定化子定理：\(|orb(x)|\times|stab(x)|=|G|\)，拉格朗日定理（群论版）的推论。
burnside 引理：\(\frac{\sum_g |X^g|}{|G|} = |X/G|\)，轨道-稳定化子定理的推论。
定义染色 \(c\)：给 \(\{1,2,\dots, n\}\) 中每个元素一种 “颜色” 的方案，并定义 \(c[i]\) 表示第 \(i\) 个元素的颜色。
定义置换群 \(G\) 在染色集合 \(X\) 上的作用：\((g\circ c)[i] = c[g^{-1}(i)]\)。
定义置换 \(g\) 的循环指标为 \(g(t_1,t_2,\dots, t_n) = t_1^{\#_1}t_2^{\#_2}\dots t_n^{\#_n}\)，表示循环分解后有 \(\#_i\) 个大小为 \(i\) 的循环（这里 \(t_i\) 为形式变元）。
如果给定颜色生成函数 \(f(t) = \sum w_it^i\)，表示 “权值” 为 \(i\) 的颜色有 \(w_i\) 种。
再记 \(F(t)\) 表示本质不同的染色的生成函数（轨道的生成函数之和）。
Pólya 定理：\(F(t) = \frac{\sum g(f(t),f(t^2),\dots,f(t^n))}{|G|}\)，burnside 引理的推论。
同样适用于多元生成函数。
考虑 burnside 引理推广：对 \(\sum_g \sum_c [g\circ c = c]w(g)\) 算两次（取 \(w(g) = 1\) 即正常的 burnside）。
外层枚举 \(g\)，即 \(\sum_g |X^g|w(g)\)。
外层枚举 \(c\)，即 \(\sum_c w(stab(c))\)。
此处 ppt 似乎断言了 “则该轨道中所有染色共享一个稳定子群”。
存疑。update：轨道内所有元素稳定子群共轭（置换共轭意味着循环指标相同），当 \(w(g)\) 只与循环指标有关时这套方法是可用的。
此时有：
当 \(w(g)\) 只与循环指标有关时，也可推广 Pólya 定理。
考虑 Pólya 定理的本质：对 \(\sum_g \sum_c [g\circ c = c]w(g)\times f(c)\) 算两次。
其中，轨道中 \(f\) 全部相同。
考虑群 \(G = S_n\) 的特例，此时 \(stab(c)\) 可以表示成若干 \(S_i\) 的直和。
取 \(w(g) = sgn(g)\)（即偶置换为 \(1\)，奇置换为 \(-1\)），则当且仅当 \(c\) 中颜色互不相同（即直和的所有因子都为 \(S_1\)）才有值。
Pólya 容斥：\(\sum_{O\in X/G}[O 颜色互不相同]=\sum\frac{sgn(g)\times|X^g|}{|G|}\)。
