@bzoj - 2324@ [ZJOI2011]营救皮卡丘
@description@
皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。
火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。
由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。
为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。
K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。
野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。
请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！
Input
第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。
接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。
Output
仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。
Sample Input
3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1
Sample Output
3
【样例说明】
小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。
HINT
对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。
至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。
@solution@
考虑如果 j 还没有被到达过且 j 之前的都曾被到达过，此时某个人如果想从 i 走到 j，那么必然只会经过编号比 j 小的点。
先考虑我们是否可以预处理出 A[i][j] 表示 i 出发经过编号 ≤ j 的点到达点 j 的最短路径。
可以发现这个 Floyd 的过程非常相似。我们做 Floyd 时最外层循环的含义是“仅经过编号 ≤ k 的点时的最短路”。
于是就可以直接在 Floyd 的时候顺便求出 A[i][j]。
那么在我们求出 A[i][j] 过后，其实就可以只考虑我们第一次经过某个点（因为不是第一次经过肯定就是在第一次经过另外一个点的路上，于是会被算入上面的最短路 A[i][j]）。
相当于我们是选择 K 条从 0 号点出发的路径，使得这 K 条路径覆盖完所有点，且 K 条路径长度总和最小（这里的长度就是 A[i][j]）。
覆盖完所有点，可以考虑使用拆点 + 上下界网络流。
除了 0 号点的所有点向 0 号点连 inf 边，就可以跑上下界的最小费用无源汇流，此时流出来的费用就是答案。
@accepted code@
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 150;
const int MAXV = 350;
const int MAXE = 50000;
const int INF = int(1E9);
struct FlowGraph{
struct edge{
int to, flow, cap, cost;
edge *rev, *nxt;
}edges[MAXE + 5], *adj[MAXV + 5], *cur[MAXV + 5], *ecnt;
FlowGraph() {ecnt = &edges[0];}
void addedge(int u, int v, int c, int w) {
edge *p = (++ecnt), *q = (++ecnt);
p->to = v, p->cap = c, p->flow = 0, p->cost = w;
p->nxt = adj[u], adj[u] = p;
q->to = u, q->cap = 0, q->flow = 0, q->cost = -w;
q->nxt = adj[v], adj[v] = q;
p->rev = q, q->rev = p;
// printf("! %d %d %d %d\n", u, v, c, w);
}
int hp[MAXV + 5], f[MAXV + 5];
int d[MAXV + 5], h[MAXV + 5], s, t;
void update(int x, int k) {
f[x] = k;
while( x ) {
hp[x] = x;
if( (x<<1) <= t && f[hp[x<<1]] < f[hp[x]] )
hp[x] = hp[x<<1];
if( (x<<1|1) <= t && f[hp[x<<1|1]] < f[hp[x]] )
hp[x] = hp[x<<1|1];
x >>= 1;
}
}
void maintain() {
for(int i=1;i<=t;i++)
h[i] += d[i];
}
bool relabel() {
maintain();
for(int i=1;i<=t;i++)
hp[i] = i, d[i] = f[i] = INF, cur[i] = adj[i];
d[s] = 0; update(s, 0);
while( f[hp[1]] != INF ) {
int x = hp[1]; update(x, INF);
for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) {
int w = p->cost + h[x] - h[p->to];
if( p->cap > p->flow && d[x] + w < d[p->to] ) {
d[p->to] = d[x] + w;
update(p->to, d[p->to]);
}
}
}
return !(d[t] == INF);
}
bool vis[MAXV + 5];
int aug(int x, int tot) {
if( x == t ) return tot;
int sum = 0; vis[x] = true;
for(edge *&p=cur[x];p;p=p->nxt) {
int w = p->cost + h[x] - h[p->to];
if( !vis[p->to] && p->cap > p->flow && d[x] + w == d[p->to] ) {
int del = aug(p->to, min(tot - sum, p->cap - p->flow));
p->flow += del, p->rev->flow -= del, sum += del;
if( sum == tot ) break;
}
}
vis[x] = false;
return sum;
}
int min_cost_max_flow(int _s, int _t) {
s = _s, t = _t; int cost = 0;
while( relabel() ) {
int del = aug(s, INF);
cost += del*(d[t] + h[t]);
}
return cost;
}
}G;
int N, M, K;
int A[MAXN + 5][MAXN + 5];
int main() {
scanf("%d%d%d", &N, &M, &K), N++;
int s = 2*N + 1, t = 2*N + 2;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
A[i][j] = (i == j ? 0 : INF);
for(int i=2;i<=N;i++) {
G.addedge(i, t, 1, 0);
G.addedge(i, i + N, 1, 0);
G.addedge(s, i + N, 1, 0);
G.addedge(i + N, 1, INF, 0);
}
G.addedge(1, 1 + N, K, 0);
for(int i=1;i<=M;i++) {
int u, v, w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), u++, v++;
A[u][v] = min(A[u][v], w), A[v][u] = min(A[v][u], w);
}
for(int k=1;k<=N;k++) {
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
A[i][j] = min(A[i][j], A[i][k] + A[k][j]);
for(int i=1;i<k;i++)
G.addedge(i + N, k, INF, A[i][k]);
}
printf("%d\n", G.min_cost_max_flow(s, t));
}
@details@
代码中为了更严谨，我将拆点后的中间的边不仅下界设为 1，上界也设为 1（即保证每个点最多只能被一个人“第一次经过”）。
但其实。。。好像也没有这个必要。因为假如路径相交，一定可以将它拆成路径不相交的情况。
