@bzoj - 3130@ [Sdoi2013]费用流
@description@
对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；
之后Bob在已知Alice的方案的前提下，每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。
总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费，Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。
Input
第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。
Output
第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
Sample Input
3 2 1
1 2 10
2 3 15
Sample Output
10
10.0000
HINT
【样例说明】
对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用为：100.5+100.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。
对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
@solution@
最大流随便跑跑就可以流出来。
考虑最小费用部分，首先 Bob 肯定是把所有费用全部压在流量最大的那条边，故 Alice 选择的最大流方案一定是要所有边流量的最大值尽可能小。
最大值尽可能小，不难想到二分。我们二分出边流量的最大值 x，将边的容量 c 改为 min(c, x)，在新图上跑最大流看是否等于原图的最大流即可。
这道题启示我们有些最小化边流量的最大值可以采用二分的方法（虽然我觉得二分套网络流的复杂度很玄）。
@accepted code@
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 100;
const int MAXM = 1000;
const int MAXV = MAXN;
const int MAXE = MAXM*2;
const double INF = 1E9;
struct FlowGraph{
struct edge{
int to; double cap, flow;
edge *nxt, *rev;
}edges[MAXE + 5], *adj[MAXV + 5], *ecnt;
int d[MAXV + 5], vd[MAXV + 5], s, t;
void clear(int n) {
for(int i=0;i<=n+3;i++)
d[i] = vd[i] = 0, adj[i] = NULL;
ecnt = &edges[0];
}
void addedge(int u, int v, double c) {
edge *p = (++ecnt), *q = (++ecnt);
p->to = v, p->cap = c, p->flow = 0;
p->nxt = adj[u], adj[u] = p;
q->to = u, q->cap = 0, q->flow = 0;
q->nxt = adj[v], adj[v] = q;
p->rev = q, q->rev = p;
}
queue<int>que;
void get_dist() {
for(int i=s;i<=t;i++)
d[i] = t + 3;
d[t] = 0; que.push(t);
while( !que.empty() ) {
int f = que.front(); que.pop(); vd[d[f]]++;
for(edge *p=adj[f];p;p=p->nxt)
if( p->rev->cap > p->rev->flow )
if( d[f] + 1 < d[p->to] ) {
d[p->to] = d[f] + 1;
que.push(p->to);
}
}
}
double aug(int x, double tot) {
if( x == t ) return tot;
double sum = 0; int mind = t + 3;
for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) {
if( p->cap > p->flow ) {
if( d[p->to] + 1 == d[x] ) {
double del = aug(p->to, min(tot - sum, p->cap - p->flow));
p->flow += del, p->rev->flow -= del, sum += del;
if( sum == tot || d[s] >= t + 3 ) return sum;
}
mind = min(mind, d[p->to]);
}
}
if( sum == 0 ) {
vd[d[x]]--;
if( vd[d[x]] == 0 ) {
d[s] = t + 3;
return 0;
}
d[x] = mind + 1;
vd[d[x]]++;
}
return sum;
}
double max_flow(int _s, int _t) {
s = _s, t = _t; get_dist();
double flow = 0;
while( d[s] < t + 3 )
flow += aug(s, INF);
return flow;
}
}G;
int a[MAXM + 5], b[MAXM + 5]; double c[MAXM + 5];
int N, M, P; double mf;
bool check(double x) {
G.clear(N);
for(int i=1;i<=M;i++)
G.addedge(a[i], b[i], min(c[i], x));
return G.max_flow(1, N) == mf;
}
int main() {
double le = 0, ri = -INF;
scanf("%d%d%d", &N, &M, &P);
G.clear(N);
for(int i=1;i<=M;i++) {
scanf("%d%d%lf", &a[i], &b[i], &c[i]);
G.addedge(a[i], b[i], c[i]);
ri = max(ri, c[i]);
}
mf = G.max_flow(1, N);
for(int i=0;i<60;i++) {
double mid = (le + ri) / 2;
if( check(mid) ) ri = mid;
else le = mid;
}
printf("%.0lf\n%lf\n", mf, ri*P);
}
@details@
一开始 WA 了，调了半天调不出错来，又觉得思路没有问题。
最后发现原来流量可以为小数但是我写的整数二分（所以完全没有分析为什么输出结果要保留小数）。
