@bzoj - 4727@ [POI2017]Turysta
@description@
给出一个n个点的有向图，任意两个点之间有且仅一条有向边。
对于每个点v，求出从v出发的一条经过点数最多，且没有重复经过同一个点两次及两次以上的简单路径。
Input
第一行包含一个正整数n(2<=n<=2000)，表示点数。
接下来n-1行，其中的第i行有i-1个数
如果第j个数是1，那么表示有向边j->i+1，如果是0，那么表示有向边j<-i+1。
Output
输出n行，第i行首先包含一个正整数k，表示从i点出发的最优路径所经过的点数
接下来k个正整数，依次表示路径上的每个点。
若有多组最优解，输出任意一组。
Sample Input
4
1
1 1
1 0 1
Sample Output
4 1 2 3 4
3 2 3 4
3 3 4 2
3 4 2 3
@solution@
不难发现题目给出的是一个竞赛图。
@part - 1@
关于竞赛图，我们有以下几个性质：
（1）竞赛图必然存在一条哈密顿路径
（2）强连通竞赛图必然存在一条哈密顿回路
我们可以采用归纳+构造法证明以上性质。
首先对于第一个性质，假如 n-1 个点的图存在哈密顿路径 p[1] -> p[2] -> ... -> p[n-1]。
考虑加入第 n 个点 q，如果 q -> p[1] 或 p[n-1] -> q 则可以直接得到新的哈密顿路径。
否则当 p[1] -> q 且 q -> p[n-1] 时，一定存在一个 p[i] 使得 p[i] ->q 且 q -> p[i+1]，将 q 塞到 p[i] 与 p[i+1] 之间即可。
然后第二个性质，考虑强连通竞赛图中，先通过上述方法构造出一个哈密顿路径 p[1] -> p[2] -> ... -> p[n]，然后我们沿着哈密顿路径从前往后加入点构造哈密顿回路。
假如前 i 个点构成的强连通分量（初始情况 i = 1 即 p[1] 单独一个点作为强连通分量）存在哈密顿回路 q[1...i]，考虑加入第 i+1 个点 nw。
此时如果回路上如果存在 j 使得 q[j] -> nw 且 nw -> q[j+1] 则可以直接把 nw 塞进去；否则，一定是回路上所有点指向 nw（因为我们是沿着哈密顿回路加入的所以不可能反过来 nw 指回去）。
此时，在 nw 之后找到第一个点 k 使得存在一条 k->q[j]（因为强连通所以一定存在这个点），将 nw->...->k 这条链塞到 q[j-1] 与 q[j] 之间即可。
除此之外，竞赛图还有一个小性质：无环的竞赛图一定形成“链状”。更严谨来说，将无环竞赛图拓扑排序后，得到的拓扑序是唯一的，且拓扑序中 i 向所有 i 之后的点连边。
@part - 2@
回到题目中来，我们先将原图的强连通缩点。
由于以上几个性质，一个点 i 出发的最长的路径一定是沿着 i 所在强连通分量的哈密顿回路绕一下 + 拓扑序中后一个分量的回路绕一下 + 。。。
于是，路径长度等于 i 拓扑序之后的分量以及 i 所在分量大小之和，路径构造只需要构造哈密顿回路即可，构造方法参考上面的证明。
@accepted code@
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2000;
int G[MAXN + 5][MAXN + 5], n;
int tid[MAXN + 5], low[MAXN + 5], dcnt = 0;
int num[MAXN + 5], siz[MAXN + 5], tot = 0;
int vis[MAXN + 5], stk[MAXN + 5], tp = 0;
void dfs(int x) {
tid[x] = low[x] = (++dcnt);
stk[++tp] = x, vis[x] = true;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if( !G[x][i] ) continue;
if( !tid[i] )
dfs(i), low[x] = min(low[x], low[i]);
else if( vis[i] )
low[x] = min(low[x], tid[i]);
}
if( low[x] >= tid[x] ) {
tot++;
while( tp && tid[stk[tp]] >= tid[x] ) {
num[stk[tp]] = tot, vis[stk[tp]] = false;
siz[tot]++, tp--;
}
}
}
int G2[MAXN + 5][MAXN + 5], deg[MAXN + 5], id[MAXN + 5];
int hd[MAXN + 5], tl[MAXN + 5], nw[MAXN + 5];
int ans[MAXN + 5], nxt[MAXN + 5];
int read() {
int x = 0; char ch = getchar();
while( ch < '0' || ch > '9' ) ch = getchar();
while( '0' <= ch && ch <= '9' ) x = 10*x + ch - '0', ch = getchar();
return x;
}
void write(int x) {
if( !x ) return ;
write(x/10);
putchar(x%10 + '0');
}
void print(int x) {
int p = x;
do {
putchar(' '), write(p);
p = nxt[p];
}while( p != x );
if( deg[num[x]] )
print(hd[id[deg[num[x]] - 1]]);
}
int main() {
n = read();
for(int i=2;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<i;j++) {
int x = read();
G[j][i] = x, G[i][j] = (!x);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if( !tid[i] ) dfs(i);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if( G[i][j] && num[i] != num[j] )
G2[num[i]][num[j]] = true;
for(int i=1;i<=tot;i++) {
ans[i] = siz[i];
for(int j=1;j<=tot;j++)
if( G2[i][j] )
deg[i]++, ans[i] += siz[j];
id[deg[i]] = i;
hd[i] = tl[i] = 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
nxt[i] = -1;
if( !hd[num[i]] )
hd[num[i]] = tl[num[i]] = i;
else {
if( G[i][hd[num[i]]] ) nxt[i] = hd[num[i]], hd[num[i]] = i;
else if( G[tl[num[i]]][i] ) nxt[tl[num[i]]] = i, tl[num[i]] = i;
else {
int p = hd[num[i]];
while( nxt[p] != -1 ) {
if( G[p][i] && G[i][nxt[p]] ) {
nxt[i] = nxt[p], nxt[p] = i;
break;
}
p = nxt[p];
}
}
}
}
for(int i=1;i<=tot;i++) {
int p = nxt[hd[i]];
nw[i] = 0, nxt[hd[i]] = hd[i];
while( p != -1 ) {
if( nw[i] ) {
int r = hd[i];
do {
if( G[p][nxt[r]] ) {
int q = nxt[p];
nxt[p] = nxt[r], nxt[r] = nw[i], p = q;
nw[i] = 0; break;
}
r = nxt[r];
}while( r != hd[i] );
if( nw[i] ) p = nxt[p];
}
else {
int r = hd[i]; bool flag = false;
do {
if( G[r][p] && G[p][nxt[r]] ) {
int q = nxt[p];
nxt[p] = nxt[r], nxt[r] = p, p = q;
flag = true; break;
}
r = nxt[r];
}while( r != hd[i] );
if( !flag ) nw[i] = p, p = nxt[p];
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
write(ans[num[i]]);
print(i), puts("");
}
}
@details@
一开始凭着感觉并没有利用哈密顿路径构造哈密顿回路然后 WA 了好几次。
后来又开始 TLE，调了一会儿发现我某个地方没有写 p = nxt[p]。。。
