@noi.ac - 171@ 立方体
@description@
TonyFang 打算送你一些立方体。
你需要在 [1, n] 中选择一个整数 k。在送你的立方体的体积和不超过 k 的情况下，TonyFang 会不断给你一个边长为正整数且尽可能大的立方体。
你需要求出最多能得到多少个立方体，以及在此条件下，k 的最小值和最大值。
input
一行一个整数 n。
output
三行，每行一个整数，分别表示最多立方体个数，容量最小值和容量最大值。
sample input
14
sample output
7
7
14
对于 100% 的数据，1≤n≤10^15。
@solution@
根据题目可以写出一个简单的 dp 求出每一个 k 能得到的立方体个数：dp[k] = dp[k-x^3] + 1。
其中 x 表示 k 的立方根下取整。
有一个小小的性质：当 x 足够大时，2*x^3 > (x+1)^3。通过函数增长速率可以得到这个结论。
这意味着当 x 足够大时，同一大小的立方体只会被赠予一次，否则就可以赠予更大的立方体。
考虑询问 1~n 的中的答案，我们可以将 1~n 分为两块：1~v^3-1 与 v^3~n，其中 v 是 n 的立方根下取整。
因为 n <= 10^15，v 的取值最多只有 10^5。现在假设我们可以通过某种手段预处理出 1~v^3-1 的答案，询问 v^3~n 的答案是多少。
由我们上面那个 dp，可以得到 dp[v^3+d] = dp[d] + 1，现在问题转变为求解 0~n-v^3 的答案，再通过一点小小的变化即可得到 v^3~n 的答案。
可以发现这是一个与原问题类似，只是规模更小的子问题。
这样递归，由我们推导的性质可得，每次问题的规模至少减为原规模一半，故只会递归 log 次。
同时为了保证上面的性质成立（即要求 x 足够大的条件成立），我们可以预先处理出 1~50^3 （50^3 = 1.25*10^5）中的所有答案，当规模在这个范围的时候可以直接得到答案。
再考虑怎么预处理 1~v^3 的答案。可以将它拆成 1~(v-1)^3-1 与 (v-1)3~v3，然后仿照上面的方法即可。
题解中采用的是贪心的做法，但我觉得可能这个方法（对我而言）要直观一些。
@accepted code@
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 125000 - 1;
const int MAXM = 100000;
typedef long long ll;
ll dp[MAXN + 5], f1[MAXN + 5], f2[MAXN + 5], f3[MAXN + 5];
ll g1[MAXM + 5], g2[MAXM + 5], g3[MAXM + 5];
ll pow3(ll x) {return x*x*x;}
ll cub(ll x) {
ll le = 1, ri = MAXM;
while( le < ri ) {
ll mid = (le + ri + 1) >> 1;
if( pow3(mid) > x ) ri = mid - 1;
else le = mid;
}
return le;
}
void update(ll a, ll b, ll c, ll &x, ll &y, ll &z) {
if( a > x )
x = a, y = b, z = c;
else if( a == x )
y = min(y, b), z = max(z, c);
}
void solve(ll x, ll ri, ll &a, ll &b, ll &c) {
ll le = pow3(x);
if( ri-le <= MAXN )
a = f1[ri-le], b = f2[ri-le], c = f3[ri-le];
else {
ll p = cub(ri-le);
solve(p, ri-le, a, b, c);
update(g1[p-1], g2[p-1], g3[p-1], a, b, c);
}
a++, b += le, c += le;
}
void init() {
int x = 1;
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
dp[i] = dp[i-pow3(cub(i))] + 1;
for(int i=1;i<=MAXN;i++) {
f1[i] = dp[i], f2[i] = f3[i] = i;
update(f1[i-1], f2[i-1], f3[i-1], f1[i], f2[i], f3[i]);
}
for(int i=1;i<MAXM;i++) {
ll x = pow3(i+1);
if( x-1 <= MAXN )
g1[i] = f1[x-1], g2[i] = f2[x-1], g3[i] = f3[x-1];
else {
solve(i, x-1, g1[i], g2[i], g3[i]);
update(g1[i-1], g2[i-1], g3[i-1], g1[i], g2[i], g3[i]);
}
}
}
int main() {
ll n; init();
scanf("%lld", &n);
if( n <= MAXN ) {
printf("%lld\n%lld\n%lld\n", f1[n], f2[n], f3[n]);
return 0;
}
ll x = cub(n), res1, res2, res3;
solve(x, n, res1, res2, res3);
update(g1[x-1], g2[x-1], g3[x-1], res1, res2, res3);
printf("%lld\n%lld\n%lld\n", res1, res2, res3);
}
@details@
好像 zxb 大佬用了打表+二分跑得飞快。。。总耗时 0ms。。。
感觉这道题乱搞的方法好多啊。
然而正解的贪心基本没人写23333
