线性方程组

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§ 4 线性方程组

设

                                   

是由m 个方程组成的 n 元线性方程组，它的系数矩阵、未知数列向量和常数列向量分别是

A =          X  =          β =          

于是线性方程组（ 4-1 ）可改为 AX= β。记：

= =    

  称为 (4-1) 的增广矩阵。

如果β=0 ，那么，式 (4-1) 表示一个齐次线性方程组；否则 (4-1) 表示一个非齐次线性方程组。

     定理4.1   如果线性方程组 AX= β有两个不同的解，那么它

一定有无穷多解。

      线性方程组（ 4-1 ）的解只有三种可能：无解，唯一解，无穷多解。

下面介绍解线性方程组的一个规范方法 --- 高斯消去法，它是加减

消元法和代入消元法的推广和规范化。

定义4.1   设   是两个由m 个方程组成的 n 元线性方程组，如果 的解都是 的解, 的解都是 的解，即线性方程组 有相同的解，那么称它们为同解方程组，或称这两个方程组同解。

定理4.2    如果线性方程组 的增广矩阵A= 经过有限次行初等变换变成矩阵 ， 作为增广矩阵对应于线性方程组 那么，线性方程组 是同解方程组。

用高斯消去法解线性方程组 4-1 ，实际上就是对增广矩阵 进行矩阵的行初等变换，先把 变为阶梯形矩阵，再继续施行行初等变换，使其变为简化阶梯形矩阵。前者就是消元过程，后者就是 回代过程。

  定理4.3    设线性方程组 4-1 的增广矩阵 A 经过行初等变换变为阶梯形矩阵 4-4 。

1    当d ≠ 0 时，线性方程组 4-1 无解；

2   当d ＝0 且r ＝n 时，线性方程组 4-1 只有唯一解；

3   当d ＝0 且r ＜n 时，线性方程组 4-1 有无穷多解。                   (4-4)

对于齐次线性方程组

                             （4-5 ）

由于 总是它的一个解（通常称为零解），所以齐次线性方程组的解总是存在的。问题是它会不会有非零解，从而有无穷多解。

推论4.4    如果齐次线性方程组（ 4-5 ）的系数矩阵 A 的阶梯形中

非零行的数目 r 小于未知数的数目 n ，那么它一定有非零解。

推论4.5    如果齐次线性方程组（ 4-5 ）的方程数目 m 小于未知数

的数目n ，那么它一定有非零解。

推论4.6    如果齐次线性方程组（ 4-5 ）的未知数的数目 n 不超过

方程的数目m ，那么，当且仅当 r=n 时，它只有非零解 。

 

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