CodeForces 960G. Bandit Blues

题目简述：求满足如下条件的$N \leq 10^5$排列的个数（模$998244353$）：

1. 从左往右会依次遇到$A$个比当前遇到的最大值更大的元素；

2. 从右往左会依次遇到$B$个比当前遇到的最大值更大的元素。

 

解：code

 

不管是从左往右，还是从右往左，我们都会遇到最大值$N$，并且此后不会再遇到比$N$更大的元素。

对任何一个满足条件的排列，我们先找到元素$N$的位置$p$，于是元素$N$将排列分成左右两个部分。

设左半部分遇到的$A$个比当前遇到的最大值更大的元素依次位于$i_1, i_2, \dots, i_A$，特别地$i_1 = 1, i_A = p$。则$[i_1, i_2), [i_2, i_3), \dots, [i_{A-1}, i_A)$这$A-1$个部分是一个圆排列（或者可以看成一个轮换），其代表元是该部分的最大值（因为最大值永远在第一个）。这相当于是将$p-1$个元素分成$A-1$个圆排列。

同样的，右半部分相当于是将$N-p-1$个元素分成$B-1$个圆排列。

总的说来，我们需要把$N-1$个元素分成$A+B-2$个圆排列，其方案数是第一类斯特林数

$$ \begin{bmatrix} N-1 \\ A+B-2 \end{bmatrix}, $$

而后从$A+B-2$个圆排列中选出$A-1$个放在左边，而剩下的放在右边，其选法数为

$$ \binom{A+B-2}{A-1}. $$

从而所求答案为

$$ \binom{A+B-2}{A-1} \begin{bmatrix} N-1 \\ A+B-2 \end{bmatrix}. $$

而求斯特林数的方法参见这里，用分治以及快速傅里叶变换，可在$O(n \log n)$复杂度内求得。注意到此题的模数可以用快速数论变换（Fast Number Theory Transform）来做。

而对于组合数，则需要计算模的逆元。