CodeForces 932E. Team Work

题目简述：从$n \leq 10^9$个人中选取一个非空子集$X$，求所有可能的子集大小的$k \leq 5000$次方$|X|^k$之和。

解：code

令$[n] = \{1, 2, 3, \dots, n \}$。因为$|\emptyset| = 0$，不影响结果。故即求

$$
\sum_{X \subseteq [n]} |X|^k
= \sum_{x=0}^n x^k \sum_{X \subseteq [n]} [|X|=x] = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x} x^k.
$$

利用斯特林数的性质，我们有

$$ x^n = \sum_{k=0}^n k! \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \binom{x}{k}. $$

带入所求式得

$$
\begin{aligned}
\sum_{x=0}^n \binom{n}{x} i^k
& = \sum_{x=0}^n \binom{n}{x} \sum_{i=0}^k i! \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix} \binom{x}{i} \\
& = \sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix} \sum_{x=i}^n \frac {n!} {(n-x)! (x-i)!} \\
& = \sum_{i=0}^{\min\{k, n\}} \frac {n!} {(n-i)!} \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix} \sum_{x=i}^n \binom{n-i}{n-x} \\
& = \sum_{i=0}^{\min\{k, n\}} n^{\underline{i}} 2^{n-i} \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix} 
\end{aligned}
$$

在计算出第二类斯特林数之后，代入计算即可。时间复杂度为$O(k^2)$。