摘要：
博弈论的题往往可以通过直接计算Sprague-Grundy函数来解决。本文将介绍两道较为相似的例题，在他们的设定下，大多数情况输赢仅由双方的优势程度所决定，而先手的优势则被限定在很小的范围内——即势均力敌的情况。 例题1 CodeForces 1704F. Colouring Game Alice和 阅读全文
摘要：
给定有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）$G = (V, E)$，以及源点集$S = \{ s_1, s_2, \dots, s_n \}$，汇点集$T = \{ t_1, t_2, \dots, t_n \}$。每一条边$(x, y)$都有一个权值$w(x, y)$ 阅读全文
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本文从另一个角度理解Dijkstra算法，可能会与通常Dijkstra算法的讲解有一些区别。 最短路问题：给定有向图$G = (V, E)$，每条边形如$(x, y, w)$，其中$w$表示节点$x$至节点$y$的距离为$w \geq 0$。求节点$s$至节点$t$的最短路径长度。 Dijkstra 阅读全文
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题目简述：给定一棵$n$（$2 \leq n \leq 10^5$为偶数）个节点的树，以及$1 \leq k \leq n^2$。要求找到完全匹配$f: [n] \to [n]$，使得距离之和 $$ S(f) = \frac 1 2 \sum_{i \in [n]} \mathit{dis}(i, 阅读全文
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引子：（广义错排问题）有$n$个班级，第$i$个班有$a_i$人，每人都写一张贺卡送给另一个人，问是否存在一个分配方案，使得 每个人都获得恰好一张贺卡，并且与这张贺卡的作者来自不同班级。 当$a_i = 1$时，该问题退化成【错排】问题。 定理：令$m = \sum_{i} a_i$表示总人数，则存 阅读全文
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本文仅考虑域（Field）$\mathbb{F}$上的一元$N$次多项式 $$ f(x) = \sum_{n=0}^N a_n x^n, $$ 其中$x$是形式参数，$a_n \in \mathbb{F}$。我们把多项式$f(x)$简记作$f$。记 $$ \mathbb{F}[x] = \left\ 阅读全文
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考虑随机事件序列$\{A_0, A_1, A_2, \dots\}$，随机变量$T$为其停时。我们希望求$\mathbb{E}[T]$，但一般情况下是比较困难的。 可以考虑构造势函数$\phi(A)$，满足 $ \mathbb{E}[\, \phi(A_{t+1})-\phi(A_t) \mid A 阅读全文
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题目简述：给定一棵$N \leq 10^5$个节点的树，边上带权，维护以下两个操作： 1. 修改一条边的边权； 2. 询问当前树的直径长度。 解1：code 注意到树的直径有以下性质： 定理：令$\text{farthest}(x)$表示与节点$x$距离最远的节点的集合。则对任意节点$x$，都有任意 阅读全文
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例题【洛谷P4719】 给定一棵树，节点$x$的权值为$w[x]$，维护以下两个操作： 1. 修改一个节点的权值； 2. 询问当前的最大独立集的权值。 解： 假设没有修改操作，则是一个典型的树形动态规划。设$f[x][0]$表示未选择节点$x$的情况下的最大权值，$f[x][1]$表示选择了节点$x 阅读全文
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题目简述：求满足如下条件的$N \leq 10^5$排列的个数（模$998244353$）： 1. 从左往右会依次遇到$A$个比当前遇到的最大值更大的元素； 2. 从右往左会依次遇到$B$个比当前遇到的最大值更大的元素。 解：code 不管是从左往右，还是从右往左，我们都会遇到最大值$N$，并且此后 阅读全文