【Leetcode】120. 三角形最小路径和

题目（链接）

给定一个三角形triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标相同或者等于上一层结点下标 + 1的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标i，那么下一步可以移动到下一行的下标i或i + 1。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -104 <= triangle[i][j] <= 104

题解

思路：

• 动态规划
• 由题意可知，如果正位于当前行的下标i，那么下一步可以移动到下一行的下标i或i + 1，那么当前节点f[i][j]只可以从两个位置转移而来，分别是f[i - 1][j - 1]和f[i - 1][j]。
• 特殊处理三角形的边界：
  （1）第一列不能由f[i - 1][j - 1]转移而来。
  （2）每一行的最后一列不能由f[i - 1][j]转移而来。
  解决问题：创建f数组的时候多创建两列(第一列和最后一列)并赋值正无穷，这样，计算的时候就可以计算f[i - 1][j - 1]和f[i - 1][j]两个位置，由于是正无穷，并不会影响最小值的计算。

朴素版code:

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        const int INF = 1e9;
        int n = triangle.size();
        int f[n + 10][n + 10];
        
        // 创建f数组
        for (int i = 1; i <= n; i ++){
            for (int j = 0; j <= n + 1; j ++){
                f[i][j] = INF;
            }
        }

        // 状态转移
        f[1][1] = triangle[0][0];
        for (int i = 2; i <= n; i ++){
            for (int j = 1; j <= i; j ++){
                f[i][j] = min(f[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j - 1], f[i - 1][j] + triangle[i - 1][j - 1]);
            }
        }
        
        // 计算最小值
        int res = INF;
        for (int i = 1; i <= n; i ++){
            res = min(res, f[n][i]);
        }

        return res;
    }
};

空间优化版code:

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        const int INF = 1e9;
        int n = triangle.size();
        int f[n + 10];
        
        for (int j = 0; j <= n + 1; j ++){
            f[j] = INF;
        }

        f[1] = triangle[0][0];
        for (int i = 2; i <= n; i ++){
            for (int j = i; j >= 1; j --){  // 滚动数组。因为需要使用上一层计算的值，所以需要倒着计算
                f[j] = min(f[j - 1] + triangle[i - 1][j - 1], f[j] + triangle[i - 1][j - 1]);
            }
        }

        int res = INF;
        for (int i = 1; i <= n; i ++){
            res = min(res, f[i]);
        }

        return res;
    }
};