寒假集训专题四-D.同余方程

d-同余方程

解同余方程的通法

注意：gcd的两个参数一定是正值
对于

Ax≡B(mod M)---->Ax=My+B---->Ax+My=B(正负号不重要）,因为解出的x或者y可以通过整体式子＋-lcm 的倍数来变化
于是就是解Ax+My=B这个不定方程。

根据斐蜀定理：ax+by=c=k∗gcd(a,b)(k∈N∗)
所以必须gcd(A,M)|B，否则无解。

//这里需要特别判断
设a>b。
当b=0,gcd(a,b)=ab=0,gcd(a,b)=a,所以此时x=1,y=0x=1,y=0
当a>b>0a>b>0时，设ax1+by1=gcd(a,b),bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)
根据欧几里德原理，则
ax1+by1=bx2+(a mod b)y2
即ax1+by1=bx2+(a−(a/b)∗b)y2=ay2+bx2−(a/b)∗by2
对应得x1=y2,y1=x2−(a/b)∗y2

于是我们就可以一边求gcd一边解这个方程。
当然，注意到跑了exgcd后解出来的是ax+by=gcd(a,b)
解同时乘上c/gcd(a,b)
注意到x,y的解不止一个，x+=b/gcd(a,b),y−=a/gcd(a,b)后总是合法。（因为加减的都是ab/gcd(a,b)=lcm(a,b)。
为了求最小正整数值，我们模这个值即可。

求这一步之前，要先判断x的正负与否

如果要把最后一步套路化，就是D=gcd(A,B),x=x∗(B/D)%(M/D)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll exgcd(ll a, ll b ,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0) {x=1,y=0;return a;};
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    //这一步交换的处理很重要
	ll z=x;x=y,y=z-a/b*y;
	return d;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{
	if(y==0) return x;
	return gcd(y,x%y);
}
signed main()
{
	ll a,b,x,y;
	cin>>a>>b;
    ll m=gcd(a,b);
    //这里其实要判断   ？gcd(a,b)|1,答案是肯定的，题目已经保证了
	ll d=exgcd(a,b,x,y);
	
	if(x<0)
	{
		while(x<0)
		{
			x=x+b/m;
		}
	}
    //这里1即同余方程右边的值，由于是1可要可不要
	cout<<x*(1/m)%(b/m);
}