微积分笔记

\(Ⅰ\)函数

一、数集

1.区间

2.领域(p8)

（1）\(x_0\)的领域：一个范围，和\(x_0\)很临近
（2）\(x_0\)的\(\delta\)领域：\((x_0-\delta,x0+\delta)\)记录为，\(U(x_0,\delta)\)

（3）领域强调中心点和到中心点的距离，开区间强调两个端点

（4）\((x_0-\delta,x_0)U(x_0,x_0+\delta)\)记为\(U^o(x_0,\delta)\) ，也即去心领域

（5）更常见的说法：\(x_0\)的某领域、某去心领域

3.有界数集(P9)

（1）若存在实数\(m\)与\(M\)，使对\(\forall x \in A\)，都有\(m≤x≤M\)，则称数集A是有界集

（2）\((0,1)\)有界，\((1,+\infty)\)有下界无上界

（3）不是有界的集合称为无界集合

集合A有界：

\(\iff A同时有上下界\)

\(\iff 有数m,n,对\forall x \in A，均有m≤x≤M\)

\(\iff 有数G>0,对\forall x \in A，均有|x|≤G\)

集合A无界：

\(\iff 对任何G>0，均有x_0 \in A，使|x_0|>G\)

“任何”对“有一个”

二、函数

1.函数概念：如，\(y=\sqrt{x}\)把任一非负实数对应成正实数

2.函数二要素：定义域，对应关系

3.单调函数(P15)

严格单调递增：没有平的，自变量不同函数值也不同

4.有界函数(P16)

称函数\(y=f(x)\)有界，如果其数值有界（整个函数图像都在两条水平线间）

函数\(y=f(x)\)有界

\(\iff有实数m,M，对\forall x，均有m≤f(x)≤M\)

\(\iff f(x)同时有上、下界\)

\(\iff 有实数G>0，对\forall x，均有|f(x)|≤G\)

不是有界的函数称为无界函数

\(\iff 对任何实数G>0，均存在x\in D，使|f(x)|>G\)

如\(y=ln x\)在\(x>0\)时无界

5.复合函数(P19)

外函数：\(y=sin u\)，内函数：\(u=e^x\)

复合函数的拆分：\(y=e^{sin{x^2}}\)，拆成\(y=e^w，w=sin(x^2)\)

6.基本初等函数

（1）常值函数：\(y=2,y=e\)

（2）指数函数：\(y=2^x,y=a^x(a>0,a≠1)\)，排除\(a=1\)是因为\(1^x=1\)与其他\(a^x\)性质差别太大

（3）对数函数：\(y=log_ax(a>0,a≠1)\)

（4）三角函数：\(余切cot x=\frac{1}{tanx},正割secx=\frac{1}{cosx}，余割cscx=\frac{1}{sinx}\)

（5）反三角函数：\(arccot x\)

（6）幂函数：\(y=x^{\frac{1}{2}}\)，\(y=x^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2} lnx}\)

7.初等函数(P21)

由基本初等函数经过有限次的四则运算及复合所产生的函数

三、反函数

1.对应(mapping,映射)

\(D=\lbrace 学生 \rbrace \longrightarrow R=\lbrace 学号 \rbrace\)

\(D=\lbrace 公民 \rbrace \longrightarrow R=\lbrace 性别 \rbrace\)

若限制\(D,R\)是数的集合，这种对应便是函数

2.函数定义

设\(D,R\)是数集，\(f\)是对应规则

若对\(D\)中每个数\(x\)，在\(R\)中都有唯一确定的数\(y\)与之对应，则称\(f\)是\(D\)上的函数，且称\(D\)是定义域

3.图像\(\lbrace(x,f(x))|x \in D \rbrace\)

4.如何检验是个函数？竖线检验法

阿基米德螺线是曲线，不是函数图像

5."1对1"函数

若\(a,b \in D\)，且\(a≠b\)，必有\(f(a)≠f(b)\)，则称\(f\)是"1对1"函数

函数是“多对1”或“1对1”的映射，为了强调，也称单值函数

6.横线检验法：图像与y轴垂直的直线的交点不多于1点

7.充分条件：严格递减（递增）函数都是“1对1”函数

8.函数的反函数

“多对1”没有反函数

具有反函数的函数一定是“1对1”的

“1对1”函数：\(y=f(x) \iff x=f^{-1}(y)\)

9.反函数的求法

例题：求\(y=x^2(x≥0)\)的反函数

step 1 左右交换： \(x^2=y(y≥0)\)

step 2 解方程，把x当作未知数：\(x=\sqrt{y}(y≥0)\)

step 3 交换变量：\(改写成：y=\sqrt{x}(x≥0)\)

结论：\(f(x)=x^2(x≥0)\)，\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}(x≥0)\)

思考：\(y=\sqrt{x}\)和\(x=\sqrt{y}\)是同一个函数（只需关注二要素是否一致）

10.函数与其反函数的相消原则

\(f(f^{-1}(a))=a,f^{-1}(f(a))=a\)

(1)\(f(x)=x^2\)：①非“1对1”函数，（整个函数）没有反函数

​ ②当\(x≥0\)时，把其反函数记成\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)

(2)\(f(x)=sinx\)：①正弦函数没有反函数(√)

​ ②当\(-\frac{\pi}{2}≤x≤\frac{\pi}{2}\)时，把其反函数记成\(arcsinx\)

\(f(x)=sinx(-\frac{\pi}{2}≤x≤\frac{\pi}{2})\)反函数是\(f^{-1}(x)=arcsinx(-1≤x≤1)\)

11.反正弦函数

\(y=arcsin x\)的图像：

$$ sin 0=0,arcsin 0=0,arcsin 1=\frac{\pi}{2} $$

\[arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}，arcsinsin\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6} \]

\[sin 2\pi=0，arcsinsin 2\pi=arcsin 0≠2\pi \]

参照：\((-3)^2=9，\sqrt{9}=3≠-3\)

12.正弦函数与其反函数的相消原则

“1对1”函数：\(f^{-1}(f(x))=x，f(f^{-1}(y))=y\)

\(-\frac{\pi}{2}≤x≤\frac{\pi}{2}\)时，\(arcsinsin x=x\)

\(-1≤x≤1\)时，\(sinarcsiny=y\)

归纳：

1.函数是一种特殊映射（数集到数集），或“1对1”，或“多对1”

2.具有反函数的函数，必是''1对1“的映射

3.”多对1“的函数没有反函数

4.”多对1“的函数，取”1对1“的部分，才可定义反函数

5.”1对1“的函数与其反函数可完全相消

6.”多对1“的函数与定义的反函数，只能部分相消，例：\(arcsinsin\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}，acrsinsin2\pi≠2\pi\)

13.求反函数与解方程的区别

(1)\(arcsin 0.5=\frac{\pi}{6}\)

(2)\(sin x=0.5,x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi(k\in z)\)

14.其他的反三角函数

\(y=arcsin x\) \(x：-1 \longrightarrow1\) \(y:-\frac{\pi}{2} \longrightarrow \frac{\pi}{2}\)

\(y=arccos x\) \(x：-1 \longrightarrow1\) \(y:\pi \longrightarrow 0\)

\(y=arctan x\) \(x：-\infty \longrightarrow +\infty\) \(y:-\frac{\pi}{2} \longrightarrow \frac{\pi}{2}\)

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Ⅱ极限与连续

一、数列的极限

1.数列可看作定义域是正整数集的函数

2.数列极限的定义

对于数列\(\lbrace U_n \rbrace\)，若能找到一个常数\(A\)，满足：

对任给的\(\varepsilon>0\)，可找到\(N>0\)，对\(\forall n>N\)，均有\(|U_n-A|<\varepsilon\)，则称常数\(A\)为数列\(\lbrace U_n \rbrace\)的极限，记作\(\lim\limits_{n\to\infty}U_n=A\)

3.何为适当放大（要求高亮部分极限为0）

适当的放大：\(|\frac{arctan n}{n!}-0|<\frac{\pi/2}{n!}<\) \(\frac{2}{n}\) \(<\varepsilon\)
放太大了：\(|\frac{arctan n}{n!}-0|<\frac{\pi/2}{n!}<\) \(n\) \(<\varepsilon\)

二、收敛（即有极限）数列的性质【四个必要性】

1. 有界性：有极限的数列必有界

2. 唯一性：数列若有极限，则极限值唯一

3. 保号性：若 \(\lim\limits_{n\to\infty} U_n=a>0\)则\(\exists N>0,\eta>0\)，使\(n>N\)时，\(U_n>\eta>0\)

   推论1：若 \(\lim \limits_{n\to\infty} U_n=a,\lim \limits_{n\to\infty}V_n=b,a>b\)，则\(\exists N>0\)，使\(n>N\)时,\(U_n>V_n\)

   进一步理解：保负性： \(\lim \limits_{n\to\infty} U_n=a<0\)则\(\exists N>0,\eta<0\)，使\(n>N\)时，\(U_n<\eta<0\)

   推论2：若\(\lim \limits_{n\to\infty}U_n\)存在，且\(U_n≥0\)，则\(\lim \limits_{n\to\infty}U_n≥0\)

4. 保序性：若\(\lbrace U_n \rbrace,\lbrace V_n \rbrace\)收敛，且\(U_n≤V_n\)，则\(\lim \limits_{n\to\infty} U_n≤\lim \limits_{n\to\infty} V_n\)(第一个等号可去掉，第二个等号不可去掉，比如\(\frac{1}{n}\)和\(\frac{-1}{n}\))

三、数列极限的四则运算

\(\lim\limits_{n\to\infty}(U_n\bigoplus V_n)=\lim\limits_{n\to\infty}U_n \bigoplus \lim\limits_{n\to\infty}V_n\)

\(\bigoplus\)可以表示\(+,-,\times,\div\)

使用条件：\(\lbrace U_n \rbrace,\lbrace V_n \rbrace\)均为收敛数列，且\(\div\)时，\(\lim\limits_{n\to\infty}V_n\)非0

备注：四则运算法则对无限个不一定成立

四、数列收敛的判别准则【充分性】

1.夹逼准则（迫敛性）

若对任意\(n\)，\(U_n≤V_n≤W_n\)，且\(\lim\limits_{n\to\infty}U_n=\lim\limits_{n\to\infty}W_n=a\)，则\(\lim\limits_{n\to\infty}V_n=a\)

2.充分条件：单调有界必收敛(P38)

单调增且有上界的数列、单调减且有下界的数列必有极限。

3.充要条件（P39柯西收敛准则）

数列收敛当且仅当是稳定数列

五、两个重要极限公式的其中一个

公式一：\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\)

为什么称为重要极限？因为后续许多极限问题都可以归结为这类极限。

S02备注1：不能独自取极限。在一个极限式中，极限过程是一个完整的动态变化过程，任何一部分不能独自先取极限。例如，\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim\limits_{n\to\infty} 1^n=1\)就是错误的

备注2：有限与无限的区别

\[有限： \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{10}=[\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})]\times ......\times[\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})]=1\times...\times1=1 \]

\[无限： \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}≠[\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})]\times ......\times[\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})]=1\times...\times1=1 \]

\[对任何整数k，\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^k=1 \]

六、子数列(P34)

设从$\lbrace U_n \rbrace \(中任意地抽出无穷多项，并按原有次序排成一新数列，称为\)\lbrace U_n \rbrace \(的子数列，记为：\)\lbrace U_{n_k} \rbrace :U_{n_1},U_{n_2},...$

七、几类有特性的数列

单调数列，有界数列

无穷大数列：对\(\forall G>0\)，有\(N>0，n>N\)时，\(|U_n|>G\)，记为\(\lim\limits_{n\to\infty}U_n=\infty\)

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\(\xi2\)函数的极限

• 函数极限是数列极限的一般情况

一、函数极限的定义

\(\lim\limits_{n\to+\infty}f(x)=A\)：对任给的\(\varepsilon>0\)，有\(N>0,x>N\)时，\(|f(x)-A|<\varepsilon\)

\(\lim\limits_{n\to-\infty}f(x)=A\)：对任给的\(\varepsilon>0\)，有\(N>0,x<-N\)时，\(|f(x)-A|<\varepsilon\)

\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x)=A\)：对任给的\(\varepsilon>0\)，有\(N>0,|x|>N\)时，\(|f(x)-A|<\varepsilon\)

备注1：由定义易知，\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x)=A \iff \lim\limits_{n\to+\infty}f(x)=A 且 \lim\limits_{n\to-\infty}f(x)=A\)

备注2：函数极限定义中的\(N\)不必是整数

1.水平渐近线：

若\(x\to+\infty\)时，曲线\(y=f(x)\)与直线\(y=A\)无限靠近，则称\(y=A\)为\(y=f(x)\)在\(x\to+\infty\)的水平渐近线

2.对\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists\delta>0\)，当\(0<|x-x_0|<\delta\)时，恒有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称常数\(A\)为\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时的极限，记作\(\lim\limits_{x\to x_o}f(x)=A\)或\(f(x)\to A,x\to x_0\)

S03例6

证\(\lim\limits_{x\to9}\sqrt{x}=\sqrt{9}\)

\[对\forall\varepsilon>0，找\delta>0，使得0<|x-9|<\delta时， 有|\sqrt{x}-3|=|\frac{x-9}{\sqrt{x}+3}|≤|x-9|<\varepsilon \]

\[要使(*)成立，只需|x-9|<\varepsilon，同时为保证\sqrt{x}有意义，必须限制x的范围，如:|x-9|<9，综上，取\delta=min(\varepsilon,9) \]

\[结论，对以上\varepsilon>0，有\delta=min(\varepsilon,9)>0，0<|x-9|<\delta时，|\sqrt{x}-3|<\delta \]

3.左右极限

\(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A:\forall \varepsilon>0\)，有\(\delta>0\)，对\(\forall x\)，只要\(0<x-x_0<\delta\)，均有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)

\(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A:\forall \varepsilon>0\)，有\(\delta>0\)，对\(\forall x\)，只要\(0<x_0-x<\delta\)，均有\(|f(x)-A|<\varepsilon\)

延申：

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \iff \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A且\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A\)

本定理用处，用来考虑分段函数的极限；用于证明极限不存在。

4.函数是无穷大的

\(\forall G>0\)，有\(\delta>0\)，\(0<|x-x_0|<\delta\)，\(|f(x)|>G\) ,记成\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\infty\)

二、函数极限的性质

1.必要性
(1)唯一性
(2)局部有界性：若\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\)存在，则在\(x_0\)的某去心领域内\(f(x)\)有界

\[\lim\limits_{x\to1}(2x-1)=1\longrightarrow y=2x-1在1的某去心领域内有界 \]

\[\lim\limits_{x\to{x_0}}e^x=e^{x_0}\longrightarrow y=e^x在x_0的某去心领域内有界 \]

(3)局部保号性：\(\lim\limits_{x\to 1} (2x-1)=1>0 \longrightarrow在1的某去心领域内2x-1>0\)

(4)保序性：若\(\lim\limits_{x\to {x_0}}f(x),\lim\limits_{x\to {x_0}}g(x)\)均存在且\(f(x)≤g(x)\)，则\(\lim\limits_{x\to {x_0}}f(x)≤\lim\limits_{x\to {x_0}}g(x)\)

三、函数极限的四则运算

\(\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\bigoplus g(x))=\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) \bigoplus \lim\limits_{x\to{x_0}}g(x)\)

\(\bigoplus\)可以表示\(+,-,\times,\div\)

备注1：(1)线性运算法则\(\lim\limits_{x\to{x_0}}(af(x)+bg(x))=a\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)+b\lim\limits_{x\to{x_0}}g(x)\)

​ (2)以上关于两个函数的情况可以推广到有限个函数

备注2： \(\lim\limits_{n\to\infty}(U_n\ \cdot V_n)=\lim\limits_{n\to\infty}U_n \cdot\lim\limits_{n\to\infty}V_n\)

​ 应当理解为：若\(\lim\limits_{n\to\infty}U_n,\lim\limits_{n\to\infty}V_n\)存在，则\(U_n \cdot V_n\)也有极限且上式成立

​ 不应理解成：若\(\lim\limits_{n\to\infty}(U_n\ \cdot V_n)\)存在，则\(\lim\limits_{n\to\infty}U_n,\lim\limits_{n\to\infty}V_n\)也存在

四、函数极限的判别准则（充分条件）

1.单调有界必有单侧极限

例如下面分段函数的图像：

\[f(x)=\begin{cases} arctan(x)+1,&x>0\\ 0,&x=0\\ arctan(x)-1,&x<0 \end{cases} \]

2.夹逼准则

\[若f(x)≤g(x)≤h(x)[在x_0的某领域内满足即可]，且\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A，则\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A \]

例：

\[试求：\lim\limits_{x\to 0^+}(1+cos^2\frac{1}{x})^x\\ 1≤(1+cos^2\frac{1}{x})^x≤2^x \\ 故\lim\limits_{x\to 0^+}(1+cos^2\frac{1}{x})^x=1，其中\lim\limits_{x\to x_0}a^x=a^{x_0} \]

五、两个重要极限(其二)

• \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1\)

证明：

设\(x\)为该角的弧度值，则由$S_{▲OAB}<S_{扇形OAB}< S_{▲OBC} \(可知，\)sinx<x<tanx$，故有\(1<\frac{x}{sinx}<\frac{1}{cosx}\)， 取倒数\(cosx<\frac{sinx}{x}<1\)，由夹逼准则知，结论成立。

六、函数极限与数列极限的关系(P45)

Heine定理（归结定理）

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \iff 对任何定义域内的{x_0}，只要x_n \to x_0(n\to +\infty)(x_n≠x_0)，均有\lim\limits_{n\to +\infty}f(x_n)=A\)

用中文解释一遍上面的：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \(的充要条件是，对任何以\)x_0\(为极限的数列{\)x_n\(}\)(x_n≠x_0)\(，都有\)f(x_n)\to A(n\to \infty)$

用法一：判断函数极限不存在

大致思路：构造两个极限相同的数列，然后带入到原式中，使得原式的函数极限不同

例：

\[试证：\lim\limits_{x\to +\infty}sin x 不存在\\ 证明：构造数列\lbrace a_n\rbrace=n\pi,\lbrace b_n\rbrace=2n\pi+\frac{\pi}{2},\\ \lim\limits_{n\to +\infty}sin(a_n)=\lim\limits_{n\to +\infty}sin(n\pi)=0\\ \lim\limits_{n\to +\infty}sin(b_n)=\lim\limits_{n\to +\infty}sin(2n\pi+\frac{\pi}{2})=1\\ 由Heine定理,得证 \]

用法二：求数列的极限

例：

\[试求：\lim\limits_{n\to +\infty}nsin{\frac{1}{n}}\\ 解：由于\lim\limits_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1(*)\\ 构造数列\lbrace\frac{1}{n}\rbrace，由于\frac{1}{n}≠0且\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n}=0，代入(*)，由Heine定理得：\\ \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1，即\lim\limits_{n\to +\infty}nsin{\frac{1}{n}}=1 \]