隔板法小结
参考文档->。
因为搞初赛时一直很懵逼于是就随便写了一点 ：）
1.简单问题
约束：
元素无差异，容器(组别)有差异，每个容器(组别)不能为空（相当于没限制）。
问题：
例1：将10个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，问方案数？
解析：O[]O[]O[]O[]O[]O[]O[]O[]O[]O，10个小球排成一排，中间有9个空，现在分成3份，相当于选2个隔板，所以方案数为\(C_9^2=36\)种。
总结：
ps:为了方便下面的描述，将本问题用二元组\(Base(n,b)\)表示，意义是将n个相同的球放入b个不同箱子中，每个箱子不能为空的方案数。
通式为\(Base(n,b)=C_{n-1}^{b-1}\)，意义是在n-1个板子中选择b-1个。
2.变式-凑元素法
约束：
元素无差异，容器(组别)有差异，容器(组别)可以为空或有个数限制。
问题：
例1：将10个相同小球放入3个不同箱子，可以有箱子为空，问方案数？
解析
这个问题其实等价于
Base(13,3)。如何理解呢？拿13个球去填，保证每个箱子都有一个球，那么会有10个余下的球可以随便填，而这就等价于我们当前的问题。所以答案为\(C_{12}^2=66\)种。
例2：一共16个一样的苹果，要分给4只编号分别为1，2，3，4的猴子，要求每只猴子的苹果数不少于他们各自的编号，问方案数？
解析
预先分给第1只猴0个，第2只猴子1个，第3只猴子2个，第4只猴子3个。这样还剩下10个苹果随便分，问题等价于
Base(10,4)所以答案为\(C_9^3=84\)。
例3：把10个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以空着，问方案数。
解析
第二个箱子中先给它放2个。第三个箱子中额外准备1个球。所以总共还有9个球，问题等价于
Base(9,3)，所以方案数为\(C_8^2=28\)种。
总结：
根据每个容器的约束条件(可为空，至少放几个)来对元素个数进行调整，再转化成上面最基础的问题求解。
一般情况下可以做出如下转化：有\(k\)个箱子不能为空->多准备\(k\)个球总球数增加\(k\)个，某个箱子至少得放\(k\)个->先给他放\(k-1\)个，从总球数中减去\(k-1\)个。
3.变式-添插板法
问题：
仍然是原来的问题，我们换一种方式去分析。
例1：将7个相同小球放入4个不同箱子，可以有箱子为空，问方案数？
解析
我们试试看能不能直接通过加插板的方式来解决问题。
[]O[]O[]O[]O[]O[]O[]O[]，这样子构造就有7个球，8个板子。我们在这之中选择两个板子，可以表示出箱子1，箱子4的分划情况，但对于箱子2，箱子3我们无法表示它们为空的状态（不然就有两个板子重在一起了），所以在所有板子后面在多加两个板子，占了第一个板子表示箱子2为空，占了第二个板子表示箱子3为空。像这样子
[]O[]O[]O[]O[]O[]O[]O[][add1][add2]。这样我们只用在总共10个板子中选择3个板子。所以答案为\(C_{10}^3=120\)。比如当分类情况为{\(2,3,1,1\)}时状态为
[]O[]O[✔]O[]O[]O[✔]O[✔]O[][][]；当分类情况为{\(0,3,0,4\)}时状态为
[✔]O[]O[]O[✔]O[]O[]O[]O[][][✔];当分类情况为{\(1,0,6,0\)}时状态为
[]O[✔]O[]O[]O[]O[]O[]O[✔][✔][]。
4.应用
很多分组计数问题都可以通过转化成隔板模型去简化理解，不一定会出现上面提到的容器之类的，但同样可以建立隔板模型。具体问题具体分析，根据意义来走就好了。
例1：一共10颗糖，每天至少吃1粒，吃完为止，问方案数？
解析
建立隔板模型
O_O_O_O_O_O_O_O_O_O，由于没有限定天数，所以也就没有所谓的容器了，一共9个板子，都可以选择，所以方案数为\(2^9=512\)。
例2：一共15块糖，每天至少吃3块，吃完为止，问方案数？
解析
好像不能简单的按上面思路去分析了，因为它一天至少要吃3块。联想到之前分析过得“凑元素法”，但“凑元素法”需要容器个数，而这里没有天数——也就是容器。
那我们就枚举天数呗，然后根据加法原理将所有情况相加即可。根据题意可知天数\(t∈[1,5]\)。
当t=1或5时，\(ways=1+1=2\)；
当t=2时，每天都预先吃2块，还剩11块，所以\(ways=Base(11,2)=C_{10}^1=10\)；
当t=3时，每天都预先吃2块，还剩9块，所以\(ways=Base(9,3)=C_{8}^2=28\)；
当t=4时，每天都预先吃2块，还剩7块，所以\(ways=Base(7,4)=C_{6}^3=20\)；相加得\(1+1+10+28+20=60\)种。
例3：一列队伍原有6个人，现在有三个人A,B,C来插队，问最后形成队伍的方案数？
多次插板。
一开始的队伍情况可以这样表示
_O_O_O_O_O_O_，一共6个球，7个板，任选一个板子往上面放A，方案数为\(C_7^1\)。放上一个人之后增加一个球，一个板，变成7个球，8个版，所以B的插队方式数\(C_8^1\)。类似的C的插队方式数位\(C_9^1\)。根据乘法原理答案为\(C_7^1*C_8^1*C_9^1=504\)种。
