匹配问题总结
1.二分图
二分图概念，二分图判定(dfs,bfs染色),二分图最大匹配(匈牙利算法(O(M*N)）,Hopcroft-Karp算法(O(sqrt(n)*m))，最小点覆盖，最大独立集
二分图相关参考博客：https://www.cnblogs.com/czsharecode/p/9777533.html
对匈牙利算法以及HK算法解析：https://www.cnblogs.com/penseur/archive/2013/06/16/3138981.html
结论总结：
最小路径覆盖 = 顶点数 – 最大二分匹配数
相关题目：HDU - 1151 Air Raid（最小路径覆盖） GCJ-2009 Round 2C) Stock Charts (最小路径覆盖)
最小点覆盖 = 最大匹配数
无相图最大匹配数 = 所求 最大匹配数/2 （重边）
有向图最大匹配数 = 所求 最大匹配数
相关题目：HDU - 1045 Fire Net （dfs 或 二分图） HDU-1281 棋盘游戏 （二分图最大匹配）
HDU - 1083 Courses （二分图最大匹配模板）HDU-2819 Swap（二分图最大匹配，路径记录）
HDU-2389 Rain on your Parade （最大匹配,HK函数）
最大独立集 = 所有顶点数 - 最小顶点覆盖 = 所有顶点数 - 最大匹配
(GCJ-2008 Round 3 C) No Cheating（最大独立集）
匈牙利算法：
//匈牙利算法：（这里用的向前星表示）
//主函数用hungary()获得最大匹配数
const int maxn = 500;//点数
int match[maxn];//表示匹配关系(左集合到右集合的匹配)
int vis[maxn];//表示是否被访问过
//进行匹配
bool Find(int u){ for(int i = head[u]; ~i ;i =edge[i].next){ int v = edge[i].v; if(!vis[v]){ vis[v] = 1; if(!match[v]||Find(match[v])){ match[v] = u; return true; } } } return false; }
//记录匹配个数
int hungary(){
int count = 0;
memset(match,0,sizeof(match));
for(int i =0;i<=n;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(Find(i)) count++;
}
return count;
}
Hopcroft-Karp算法（HK算法模板）
//主函数种使用HK()即可得到最大匹配个数 const int INF = 0x3f3f3f3f; const int maxn = 500;//点数 int bmap[maxn][maxn];//二分图 int cx[maxn];//左集合i匹配的右集合顶点序号 int cy[maxn];//右集合i匹配的左集合顶点序号 int n,m; int dis; int nx,ny;//左右集合个数 int dx[maxn],dy[maxn]; bool bmask[maxn]; //寻找增广路径,HK算法就是从一个点出发想要一次性寻找到多条增广路径 //所以使用bfs bool searchpath() { queue<int>Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=1;i<=nx;i++) { //cx[i]表示左集合i顶点所匹配的右集合的顶点序号 if(cx[i]==-1) { //将未遍历的节点 入队 并初始化次节点距离为0 Q.push(i); dx[i]=0; } } //广度搜索增广路径 while(!Q.empty()) { int u=Q.front(); Q.pop(); if(dx[u]>dis) break; //取右侧节点 for(int v=1;v<=ny;v++) { //右侧节点的增广路径的距离 if(bmap[u][v]&&dy[v]==-1) { dy[v]=dx[u]+1; //v对应的距离 为u对应距离加1 if(cy[v]==-1) dis=dy[v]; else { dx[cy[v]]=dy[v]+1; Q.push(cy[v]); } } } } return dis!=INF; } //寻找路径 深度搜索 int findpath(int u) { for(int v=1;v<=ny;v++) { //如果该点没有被遍历过 并且距离为上一节点+1 if(!bmask[v]&&bmap[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1) { //对该点染色 bmask[v]=1; if(cy[v]!=-1&&dy[v]==dis) { continue; } if(cy[v]==-1||findpath(cy[v])) { cy[v]=u;cx[u]=v; return 1; } } } return 0; } //得到最大匹配的数目 int HK() { int res=0; memset(cx,-1,sizeof(cx)); memset(cy,-1,sizeof(cy)); while(searchpath()) { memset(bmask,0,sizeof(bmask)); for(int i=1;i<=nx;i++) { if(cx[i]==-1) { res+=findpath(i); } } } return res; }
