【题解】CF2067D Object Identification

CF2067D - Object Identification

题目大意

有一个对你公开的 $x$ 数组和一个对你隐藏的 $y$ 数组，保证没有任何两个相同的 $\{x_i,y_i\}$，并且 $x_i\ne y_i$，对于这两个数组，有以下两种可能：

• A：一个有 $n$ 个结点的有向图，每一条边从 $x_i$ 指向 $y_i$。
• B：一个二维坐标系中的一些点，每个点的坐标为 $(x_i,y_i)$。

你可以对这个图进行询问：

• 若这个图是一个有向图，则你的询问 $i,j$ 为从结点 $i$ 到结点 $j$ 的最短路径长度。
• 若这个图是一个二维坐标系，则你的询问 $i,j$ 为从点 $(x_i,y_i)$ 到 $(x_j,y_j)$ 的曼哈顿距离 $|x_i-x_j|+|y_i-y_j|$。

现在，你有最多 $2$ 次询问机会，来确定这个图到底是一个有向图，还是一个二维坐标系。

思路

很好的一个交互题，一看题目，居然只给 $2$ 次询问？！有意思。
要区分这两种图，我们要从二者分别的特征入手：

• 有向图：所有的边是单向的，不可反向行走，因此两个结点正着走和反着走的距离不一定相同。
• 二维坐标系：所有的点两两之间的曼哈顿距离是相同的，因此正着走和反着走的距离都相同，并在该题目条件下，不存在重合的两个点，因此距离一定不为 $0$。

因此，这里有一个初步的思路，挑选两个数字，正着问一次，反着问一次，判断两次询问的距离是否相同。
但很遗憾，就算是有向图，正着和反着的距离也有可能会相同（如下图中的 $1$ 和 $3$）。

因此，若问出来距离相同，仍然无法判断为有向图还是二维坐标系。
那么，有没有什么更特殊的点，能直接作为判断标志呢？
有的，在有向图（不含自环）中，若一个结点的出度为 $0$，也就是这个结点没有任何的出边，那么该结点无法到达任何其他结点，即距离为 $0$！
也就是说，如果有 $1$ 到 $n$ 中的某一个数在数组 $x$ 中一次也没有出现，那么这个结点的出度一定为 $0$，此时，只需要把它作为询问的第一个数，再任意询问另一个数，如果距离为 $0$，则是有向图，如果距离不为 $0$，则是二维坐标系。

当然，不难发现，还有一种情况会发生，那就是 $1$ 到 $n$ 中的所有数字均在 $x$ 数组中出现，并且一定只会出现一次（如果有某个数字出现两次及以上，则一定会有一个数字不出现）。
在这种情况中，如果是有向图，则不存在出度为 $0$ 的结点，又应该如何判断呢？
这里我们就要用到我们 $x$ 数组的信息了，由于 $x$ 数组是已知的，再结合曼哈顿距离的定义，我们可以得出下面这个显而易见的结论：$d(i,j)\ge |x_j-x_i|$。
因此，我们可以用这个不等式来区分有向图和二维坐标系，那选用哪两个数字来询问呢？
这里我们选取 $1$ 和 $n$ 在 $x$ 数组中的位置 $a,b$，因为 $d(a,b)\ge n-1$，而我们的有向图中一共有 $n$ 个结点，任意两点的距离最大值只可能达到 $n-1$，因此如果询问 $1$ 和 $n$ 在 $x$ 数组中的位置后，如果得到的答案 $>n-1$，则一定是二维坐标系，如果得到的答案 $<n-1$，则一定是有向图。

如此一番操作后，我们还剩下一次询问机会，并且如果这个时候还没有得出答案，则只剩下一种情况：$d(a,b)=n-1$！
再仔细观察可以发现，在有 $n$ 个结点的有向图中，每个结点的出度均为 $1$，两点最短路径长为 $n-1$，那这时候先不管终点 $b$ 的那一条出边，此时这个图，一定是一个以 $a$ 为起点，$b$ 为重点的链！
此时，我们仅剩一条边没有连接，也就是数字 $n$ 对应的 $b$ 结点，我们注意到题目给出的数据范围 $n\ge 3$，因此，$b$ 结点要么向其他结点连边，无法到达结点 $a$，要么向 $a$ 连边，但 $d(b,a)=1\ne d(a,b)$，所以一定是有向图。
因此这时只需要再询问一次 $d(b,a)$，判断 $d(a,b)$ 是否等于 $d(b,a)$，若等于，则是二维坐标系，否则是有向图，总询问次数 $2$ 次，通过！

AC CODE

const int N = 2e5 + 9;
int a[N];
int p[N];
int cnt[N];

int ask(int x, int y) {
    cout << "? " << x << ' ' << y << endl;
    int op;cin >> op;
    return op;
}

void solve()
{
    int n;cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)cin >> a[i];
    for(int i = 1;i <= n;i ++)cnt[i] = 0;

    for(int i = 1;i <= n;i ++)cnt[a[i]] ++, p[a[i]] = i;

    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        if(!cnt[i]) {
            if(ask(i, (i % n + 1)) == 0) {
                cout << "! A" << endl;
            } else {
                cout << "! B" << endl;
            }
            return;
        }
    }

    int ck = ask(p[1], p[n]);

    if(ck >= n) {
        cout << "! B" << endl;
        return;
    }

    if(ck < n - 1) {
        cout << "! A" << endl;
        return;
    }

    int dk = ask(p[n], p[1]);

    if(dk == ck) {
        cout << "! B" << endl;
    } else {
        cout << "! A" << endl;
    }
}