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摘要： 在平面图中，两个环合到一起减去的点的个数减去减去的边的个数为 \(1\)，不看最外面的面，一共有 \(e-2\) 个粘合处，所以点边之差应该是 \(2-e\)，所以可以知道欧拉定理： \[ n-m+e=2 \] 成立。 阅读全文

摘要： P3776 APIO 斑斓之地 一个常见套路是一个森林中的树的个数为点数减去边数，这个结论的证明来自欧拉关于平面图的定理。 欧拉平面图定理说的是：\(V-E+F=2\)，也就是说，点数减去边数减去面数为 2。 题目要求我们数连通块个数，一开始并没有思路，但是发现对于一个连通块，如果它不是中空的，满足 阅读全文

摘要： 刘汝佳主要讲了一些方法和例题，例题大都是比较难的，这里只总结里面的方法。 exchange argument 在证明的时候非常常用，尤其是贪心的正确性，通过直觉发现后用这个方法来证明。 规范化 有利于简化思路，简化代码。具体来说，就是在不影响思路正确性的情况下制定标准，利于程序执行准确。 直觉与实践 阅读全文

摘要： P4556 题解 这道题一开始读错题了，导致思路走偏。 考虑到编号是一段区间，我们立马就可以想到主席树来做，不难发现一定是左边的人往右边跑，右边的人往左边跑，所以我们相当于是要在线段树上去二分一个分界点，这是因为我们一定可以找到一个最优方案，这些编号先对位置没有变化。 具体来说，我们建立一棵主席树， 阅读全文

摘要： 这个题目一开始就想到了容斥，不过我想到的容斥复杂度太大，并且没有进行进一步优化。 事后想了一种思路，即我们可以把钦定有 \(k\) 对相邻相等的方案数计算出来，运用线性 dp 就可以办到。 还有一种容斥思路是我们考虑后缀有多少相邻相等的，进行容斥。先上式子： \[ f_i=\sum\limits_{ 阅读全文

摘要： 综述 自己真的是非常菜，ABC 的题其实并没有什么难度，只是自己太菜了。 由于篇幅原因，以下只说后三道题的题解。 F F 题是一道计数题，首先不难发现的是，最终答案和每一个字符出现的次数有关系。 一开始并没有一个很好的思路，我们不妨把问题缩小。 如果只有一个字符，答案是很简单的。 如果有两个字符呢， 阅读全文

摘要： 以下若无特殊说明，皆认为 \(a_i\) 已知，\(b_i\) 非已知。 前缀和 设有： \[ b_n=\sum\limits_{i|n}a_i \] 显然通过枚举我们可以用 \(O(\sum\left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor=n\log n)\) 的时间复 阅读全文

摘要： 前置引理 首先设 \(\Complex[[x]]=\{ \sum\limits_{i\ge 0}a_ix^i|a_i\in \Complex \},\Complex((x))=\{\sum\limits_{i\ge -N}a_ix^i|N\in Z,a_i\in \Complex\}\) 有以下引理 阅读全文

摘要： min-max 容斥 \[ \max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\\ \min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\max(T) \] 下面简述一下证明，这里只证明第一个式子，下一个 阅读全文

摘要： 命题如下： \[ \forall k\in Z,[n|k]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik} \] 证明： 设 \([n|k]=1\)，则根据单位根性质，我们可以得到： \[ \sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n 阅读全文