20220401刷题日记

P4097

李超线段树裸题，为了卡过 P4207 的精度跑去学了一下李超线段树。大致思想是每个区间维护一个线段编号，这个线段在这个区间的中点处是最优的。如果能维护好这个，那么一个点的最优值其实是所有包含它的区间的最优线段，这同时也启发我们采用标记永久化。每次我们在线段树上找到对应区间，然后修改，讨论之后发现左子区间或右子区间也需要修改，进到对应区间修改即可。复杂度是 \(log^2 n\) 的。

一个实现技巧是，如果当前的比原先的优秀，那么我们直接交换两个值即可，带着那个较小的继续往下做。正确性：如果原先的那个较小的已经往下做过了，正确性显然，一个在这个区间内的点，显然我们新加进去的也会被考虑可能是答案，如果原先的没有往下做，我们就需要往下去递归以保证正确性。如果没有往下的话，那么就好像交换了插入顺序一样的。

用李超线段树实现即可。

P4027

写了一个CDQ分治的斜率优化，但是被卡进度了，不得已只得去学李超树。写完李超树就过了。

\(f_i=a_ix_i+b_iy_i\) 的形式，我们两边都除以 \(b_i\) 就化成典型斜率优化形式了，不难发现也满足李超树的形式，两个 \(log\) 可以过。

P7141

非常好的构造，首先考虑 \(n\) 是偶数一定有解，如果 \(n\) 是奇数，考虑可以划分问题，因为 \(a_i=\frac{n+1}{2}\) 一定是填满的，且不可能有相邻，我们考虑这样的一个子矩形，两边都是满的，如果中间长度是奇数，直接和偶数一样，黑白染色即可，我们重点讨论长度是偶数的情况。

我们对整个矩形黑白染色，显然左边全部占的是黑格，右边全部占的是白格，而我们期望在从左往右填的时候白格的个数会尽可能的多。显然，第 \(i\) 列白格里的填的个数是这一列白格的个数减去前面填的黑格的个数，也就是减去前面填的总数，加上填的白格的个数。

然后我们考虑尽可能的靠近这个上界，不难发现，首先从下往上填白的，然后从上往下填黑的，就是正确的。

这也是出题人的做法

卡着上界填还不行的话，就真的不行了。