一些证明杂项

1

\[\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{x}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{bc}\right\rfloor \]

其中 \(x\in\R,b,c\in\N\)

• 证明：设 \(x=kbc+r\) ，其中 \(r\in[0,bc)\) ，我们把 \(x\) 带入左边式子可以的得到：
  \[k+\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor \]

\(S_{myself}=\varnothing\)
因为：

\[ 0\le \left\lfloor\frac{\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor\le \left\lfloor\frac {r}{bc} \right\rfloor=0 \]

所以我们可以得到：

\[\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor=k \]

显然，右边式子也等于 \(k\) ，所以结论成立。

2

步长为 \(k\)，模 \(i\)，两个位置能够互相走到的充要条件是 \(a\equiv b\bmod \gcd(k,i)\)

证明：

考虑设 \(g=(k,i)\)，我们有 \(a+cg=b+dg\Rightarrow a=b+(d-c)g\)，所以有 \(b+(d-c)g\equiv ck+b\bmod i\)，显然存在这样的一个 \(c\)。

同理，我们可以证明必要性。

3

平面图欧拉公式：

\[ F-E+V=2 \]

其中 \(F\) 表示出现的平面数，\(E\) 表示边数 \(V\) 表示点数。

4

圆内接六边形，六条边直线交于三点，三点共线（帕斯卡定理）

5

矩阵乘法的扩展性

我们认为，如果两个运算 \(\times\) 和 \(+\) 满足一下条件，就可以利用矩阵乘法来进行实现：

加法需要满足：交换律，结合律，有幺元。

乘法需要满足：结合律，有幺元。

加法和乘法需要满足分配率，即左分配律，右分配律同时满足。

满足以上条件的定义了两个运算的集合，也被称作半环。

6

设 \(h(n)\) 表示一张有 \(n\) 个点的图，加无向边，如果加边个数是奇数，贡献是 \(-1\)，是偶数则为 \(1\)。考虑让整张图联通的贡献是多少。

有 \(h(n)=(-1)(n-1)h(n-1)\)

关于这点的证明，只需要注意到，一张大小为 \(n\) 的图，设 \(T\) 表示 \(1\) 所在的连通块，如果 \(|T|\le n-2\)，我们有其贡献为 \(0\)，原因是剩下的图偶数和奇数边的方案相等。