P3776 APIO 斑斓之地

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一个常见套路是一个森林中的树的个数为点数减去边数，这个结论的证明来自欧拉关于平面图的定理。

欧拉平面图定理说的是：\(V-E+F=2\)，也就是说，点数减去边数减去面数为 2。

题目要求我们数连通块个数，一开始并没有思路，但是发现对于一个连通块，如果它不是中空的，满足 \(V-E+F'=1\)，我们只需要忽视最外面的那个面。但是如果是中空的，我们右边就不是 \(0\)，而不是 \(1\)，所以如果我们直接计算所有的点数减去边数减去面数的话，中空的连通块就将不会被计数，但是考虑到这种情况其实可以通过记录河流最大最小坐标和整个外框坐标来特殊判断，最多只会对答案贡献 \(1\)。

然后我们考虑如何数点，数边，数面。考虑点边转化，点面转化的思想，这个题目就变成了一个二维数点问题，于是我们可以直接用主席树来做了。

这个题目的难度在于转化连通块个数这一步。

代码实现上用了一些小技巧，我们可以通过去重这种方式得到坐标系上的所有的点，而不用再一开始就考虑去重问题。

程序实现需要注意 root 数组一定要把后面的全部覆盖上。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
#define N 200010
#define M 4000010
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int Len=200000;

template<typename T> inline void read(T &x) {
    x=0; int f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    x*=f;
}

int R,C,m,Q,sr,sc,Maxx,Maxy,Minx,Miny;
char s[N];

struct Point{
    int x,y;
    inline Point(){}
    inline Point(int x,int y) : x(x),y(y) {}
    inline bool operator < (const Point &b) const{
        if(x!=b.x) return x<b.x;return y<b.y;
    }
    inline bool operator == (const Point &b) const{
        return x==b.x&&y==b.y;
    }
};

vector<Point> q[4];

struct Node{
    int ls,rs,sum;
    inline void Print(){
        printf("ls=%d rs=%d sum=%d\n",ls,rs,sum);
    }
    inline Node(){}
    inline Node(int ls,int rs,int sum) : ls(ls),rs(rs),sum(sum) {}
};

#define ls(k) p[k].ls
#define rs(k) p[k].rs
struct Segment_Tree{
    Node p[M];int root[N],tot;
    inline int NewNode(){return ++tot;}
    inline void PushUp(int k){p[k].sum=p[ls(k)].sum+p[rs(k)].sum;}
    inline void Change(int &k,int last,int l,int r,int w,int x){
        k=NewNode();p[k]=p[last];int mid=(l+r)>>1;
        if(l==r){p[k].sum+=x;return;}
        if(w<=mid) Change(ls(k),ls(last),l,mid,w,x);
        else Change(rs(k),rs(last),mid+1,r,w,x);PushUp(k);
    }
    inline int AskSum(int lk,int rk,int l,int r,int z,int y){
        // printf("lk=%d rk=%d\n",lk,rk);p[lk].Print();p[rk].Print();
        if(l==z&&r==y) return p[rk].sum-p[lk].sum;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(y<=mid) return AskSum(ls(lk),ls(rk),l,mid,z,y);
        else if(z>mid) return AskSum(rs(lk),rs(rk),mid+1,r,z,y);
        else return AskSum(ls(lk),ls(rk),l,mid,z,mid)+AskSum(rs(lk),rs(rk),mid+1,r,mid+1,y);
    }
    inline void AddPoint(int x,int y){
        Change(root[x],root[x],1,Len,y,1);
        root[x+1]=root[x];
    }
    inline int Query(int ar,int ac,int br,int bc){
        if(bc<ac||br<ar) return 0;
        // printf("Query: %d %d %d %d\n",ar,ac,br,bc);
        return AskSum(root[ar-1],root[br],1,Len,ac,bc);
    }
    inline void Init(){
        for(int i=1;i<=R;i++) if(!root[i]) root[i]=root[i-1];
    }
}tr[4];

inline void AddPoint(int x,int y){
    for(int i=0;i<=3;i++) q[i].push_back(Point(x,y));
    if(x>1) q[1].push_back(Point(x-1,y)),q[3].push_back(Point(x-1,y));
    if(y>1) q[2].push_back(Point(x,y-1)),q[3].push_back(Point(x,y-1));
    if(x>1&&y>1) q[3].push_back(Point(x-1,y-1));
}

inline void Init(){
    read(R);read(C);read(m);read(Q);read(sr);read(sc);AddPoint(sr,sc);Maxx=Minx=sr;Maxy=Miny=sc;
    if(m!=0) scanf("%s",s+1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(s[i]=='N') sr--;else if(s[i]=='S') sr++;else if(s[i]=='W') sc--;else if(s[i]=='E') sc++;
        AddPoint(sr,sc);Maxx=max(Maxx,sr);Maxy=max(Maxy,sc);Minx=min(Minx,sr);Miny=min(Miny,sc);
    }
    for(int i=0;i<=3;i++){
        sort(q[i].begin(),q[i].end());
        vector<Point>::iterator it=unique(q[i].begin(),q[i].end());
        q[i].erase(it,q[i].end());
    }
    for(int i=0;i<=3;i++){
        // printf("i=%d\n",i);
        for(int j=0;j<(int)q[i].size();j++){
            Point now=q[i][j];
            tr[i].AddPoint(now.x,now.y);
            // printf("now.x=%d now.y=%d\n",now.x,now.y);
        }
        tr[i].Init();
    }
    // printf("Complete Initing\n");
}

inline void Solve(){
    for(int i=1;i<=Q;i++){
        // printf("i=%d\n",i);
        int ar,ac,br,bc,ans=0;read(ar);read(ac);read(br);read(bc);
        int ans1=(br-ar+1)*(bc-ac+1)-tr[0].Query(ar,ac,br,bc);
        int ans2=(br-ar)*(bc-ac+1)-tr[1].Query(ar,ac,br-1,bc);
        // printf("%d\n",tr[1].Query(ar,ac,br-1,bc));
        int ans3=(br-ar+1)*(bc-ac)-tr[2].Query(ar,ac,br,bc-1);
        int ans4=(br-ar)*(bc-ac)-tr[3].Query(ar,ac,br-1,bc-1);
        // printf("ans1=%d ans2=%d ans3=%d ans4=%d\n",ans1,ans2,ans3,ans4);
        ans=ans1-ans2-ans3+ans4;
        if(ar<Minx&&ac<Miny&&br>Maxx&&bc>Maxy) ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
}

int main(){
    // freopen("my.in","r",stdin);
    // freopen("my.out","w",stdout);
    Init();Solve();
}