min-max 容斥

min-max 容斥

\[\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\\ \min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\max(T) \]

下面简述一下证明，这里只证明第一个式子，下一个式子类似可证。
设集合 \(S=\{a_i\},|S|=n\) 满足 \(i<j\Leftrightarrow a_i<a_j\)，由此我们有：

\[\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)=\sum\limits_{i=1}^na_i\sum\limits_{j=0}^{n-i} (-1)^{j+1}\dbinom{n-i}{j}\\ =\sum\limits_{i=1}^na_i[n-i=0]=a_n=\max(S) \]

这里应当注意到的是，假设具有一般性，而非特殊性。

min-max 容斥还有扩展形式，设 \(\max_k(S)\) 集合 \(S\) 中的第 \(k\) 大值，\(\min_k(S)\) 为集合 \(S\) 中的最小值，则我们有：

\[max_k(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\dbinom{|T|-1}{k-1}\min(T)\\ min_k(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\dbinom{|T|-1}{k-1}\max(T) \]

这里一样还是只证明第一个式子，仍然是上面的假设。

\[\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\dbinom{|T|-1}{k-1}\min(T)=\sum\limits_{i=1}^na_i\sum\limits_{j=0}^{n-i}\dbinom{n-i}{j}\dbinom{j}{k-1}(-1)^{j+1-k}\\ =\sum\limits_{i=1}^na_i\sum\limits_{j=0}^{n-i}\dbinom{n-i}{k-1}\dbinom{n-i-k+1}{j-k+1}(-1)^{j+1-k}\\ \sum\limits_{i=1}^na_i\dbinom{n-i}{k-1}\sum\limits_{j=0}^{n-i}\dbinom{n-i-k+1}{j-k+1}(-1)^{j+1-k}=a_{n-k} \]

类似的，另一个也可以证明。