笛卡尔树学习笔记

这种数据结构并不常用，但有时候对简化思维和优化复杂度有一定的帮助。

简介

笛卡尔树是一个二叉树，每一个节点由两个键值构成，\((k,w)\) 其中，\(k\) 满足二叉搜索树的性质，\(w\) 满足二叉堆的性质，

如果给定数组 \(a\)，以数组下标作为 \(k\)，用数组里面存放的值作为 \(w\)，则不难发现这个笛卡尔树的性质，一棵子树内的下标对应一段连续的区间，当然我们建立笛卡尔树不能只是对数组建立，这样具有一定的特殊性，我们要对于任意的二元组建立笛卡尔树。

构建

对任意二元组建立笛卡尔树的方法如下：

• 首先，我们将所有的二元组按照 \(k\)，也就是第一关键字来排序。

• 我们定义 右链 为从根节点开始，如果有右儿子就一直走下去，走过的点形成的链。

  我们考虑这样 增量 来构造笛卡尔树，设当前的二元组为 \((a,b)\)。

• 我们从右链的最低端开始遍历，设当前遍历的二元组为 \((c,d)\)，如果我们有 \(b<d\) 那么就停止遍历，将插入点设置为当前遍历的 右 子树，把插入点的左子树设置为当前遍历点以前的右儿子。

考虑正确性证明：

• 首先关注到 \(k\) 是有序的，因为我们是把当前遍历点设置为插入点的 左 子树，所以这样显然满足二查搜索树性质，又因为我们是遍历到有 \(b<d\) 的时候才插入，所以很显然这棵树的第二关键字也满足堆的性质。

考虑复杂度证明：

• 首先显然，如果一个当前插入点遍历到了一个点却没有选择插入，那么这个点以后就不会存在在右链之中，也就是说，每个点仅会被最多 经过 一次，所以复杂度是均摊 \(O(n)\)。

考虑实现，我们可以用栈来模拟右链，插入代码如下：

inline void Insert(int k){
    int Last=Top;
    while(W[Stack[Last]]>W[k]) Last--;
    ls[k]=rs[Last]
    rs[Last]=k;
    Stack[++Last]=k;
    Top=k;
}

注意，以上实现仅供参考，正确性并不保证。可能会有所修改。