P5336 题解

一道非常好的区间 dp。

一开始我理解错了题意，认为只是把原序列分成几个小段，但是发现不是，在发现两边的区间可以合并的时候，我意识到这是一道区间 dp。

1 状态设计

于是我开始考虑状态设计，先按照区间 dp 模板：设 \(f_{l,r}\) 表示 \(l\) 到 \(r\) 这个区间的最优解。然后我们考虑这个区间是否能够包含所有情况，即在这个状态的基础上能否转移。

不难发现仅凭借这个状态是没有办法转移的。我们看看还缺少什么。

其实最特殊的情况实际上是这种情况：区间 \([l,r]\) 中有若干段完成的区间，剩下的部分合并起来一起消掉。

由于代价的计算方式，所以实际上我只需要关注剩下部分的最大值和最小值是多少。

于是我们初步设计出来一个状态：\(f_{l,r,x,y}\) 表示区间 \([l,r]\)，没选的（就是剩下的部分，我们先不算代价）最小值和最大值分别是 \(x,y\)。那么考虑这个状态一定会有不合法状态，我们把不合法状态统一设为 \(inf\)。

2 转移

考虑转移，不难发现，状态 \(f_{l,r,x,y}\) 包含的所有情况我们可以划分成两个集合，其中一个集合最右边有剩下的部分，那么这个部分的转移我们可以从 \(f_{l,r-1,x',y'}\) 转移过来，其中 \(x=\min(x',a_r),y=max(y',a_r)\)。另一个集合最右边没有剩下的部分，我们考虑枚举 \(k\)。也就是说，我们枚举所有剩下的部分都来自 \([l,k]\)。那么右边的代价应该是多少？不难发现，应该是 \(\min\limits_{x,y}\{ f_{k+1,r,x,y}+A+B\times (y-x)^2 \}\)。我们令 \(g_{k+1,r}\) 等于右式。至于 \(g_{l,r}\) 的更新，在计算完 \(f_{l,r,x,y}\) 后更新即可。

最后的答案不难发现是 \(g_{1,n}\)。

3 代码

#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
#define N 51
#define M number
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

template<typename T> inline void read(T &x) {
    x=0; int f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    x*=f;
}

template<typename T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<typename T> inline T Max(T a,T b){return a<b?b:a;}

int n,a[N],A,B,b[N],id[N];
int f[N][N][N][N],g[N][N];

int main(){
    // freopen("my.in","r",stdin);
    // freopen("my.out","w",stdout);
    read(n);read(A);read(B);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        read(a[i]);b[i]=a[i];
    }
    sort(b+1,b+n+1);int w=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int c=lower_bound(b+1,b+w+1,a[i])-b;
        id[c]=a[i];a[i]=c;
    }
    memset(f,INF,sizeof(f));
    memset(g,INF,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i][i][a[i]][a[i]]=0;
        g[i][i]=A;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
            int l=j,r=j+i-1;
            for(int mi=1;mi<=w;mi++){
                for(int mx=mi;mx<=w;mx++){
                    f[l][r][Min(mi,a[r])][Max(mx,a[r])]=Min(f[l][r][Min(mi,a[r])][Max(mx,a[r])],f[l][r-1][mi][mx]);
                }
            }
            for(int mi=1;mi<=w;mi++){
                for(int mx=mi;mx<=w;mx++){
                    for(int k=l;k<=r;k++){
                        f[l][r][mi][mx]=Min(f[l][r][mi][mx],f[l][k][mi][mx]+g[k+1][r]);
                    }
                }
            }
            for(int mi=1;mi<=w;mi++){
                for(int mx=mi;mx<=w;mx++){
                    g[l][r]=Min(g[l][r],f[l][r][mi][mx]+A+B*(id[mx]-id[mi])*(id[mx]-id[mi]));
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",g[1][n]);
    return 0;
}