决策单调性优化 dp——四边形不等式
决策单调性优化 dp——四边形不等式
所谓的决策单调性指的就是最优决策点是单调的。
例如 dp 方程：
设 \(j_i\) 为 \(i\) 的最优决策点。如果有 \(\forall i,\forall i'<i,j_{i'}\le j_i\) ，那么我们就称这个 dp 满足决策单调性。上面这个方程，满足最优决策单调递增。
1 四边形不等式
如果定义在整数域二元函数 \(w(x,y)\) 满足 \(\forall a\le b\le c\le d\) ，有 \(w(a,c)+w(b,d)\le w(a,b)+w(c,d)\)
即左上角加右下角小于等于左下角加右上角。
1.1 四边形不等式等价形式
如果定义在整数域的二元函数 \(w(x,y)\) 满足 \(\forall a<b\) ，有 \(w(a,b)+w(a+1,b+1)\le w(a+1,b)+w(a,b+1)\)
那么其满足四边形不等式，同时满足四边形不等式的函数也满足上面这个性质。
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证明：
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首先四边形不等式推上面这个式子是显然的，所以我们证上面这个式子推四边形不等式。
\[\forall a< c,w(a,c)+w(a+1,c+1)\le w(a+1,c)+w(a,c+1)\\ \forall a+1< c,w(a+1,c)+w(a+2,c+1)\le w(a+1,c+1)+w(a+2,c)\\ \]两个式子相加可以得到：
\[w(a,c)+w(a+2,c+1)\le w(a,c+1)+w(a+2,c) \]上面式子可以推广：
\[w(a,c)+w(b,c+1)\le w(a,c+1)+w(b,c) \]其中：
\[a<b\le c \]令 \(b=a\) 发现式子显然成立，所以：
\[a\le b\le c \]同理对 \(c\) 进行上面这个操作，我们就可以得到四边形不等式。
1.2 一维线性 dp 四边形不等式优化
在转移方程中 \(f_i=\min\limits_{0\le j< i}\{f_j+w(j,i) \}\) 中 \(w\) 满足四边形不等式，那么 \(f\) 具有决策单调性。
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证明：
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我们继续使用上面的定义，因为 \(j_i\) 是 \(f_i\) 最优决策，所以有：
\[\forall j<j_i, f_{j_i}+w(j_i,i)\le f_j+w(j,i) \]设 \(i'>i\) ，那么我们有 \(j<j_i<i<i'\)
我们对上面这个式子使用四边形不等式并移项可以得到：
\[w(j_i,i')-w(j_i,i)\le w(j,i')-w(j,i) \]把这个与第一个式子相加，我们可以得到：
\[f_{j_i}+w(j_i,i')\le f_j+w(j,i') \]也就是说，以 \(j_{i'}\ge f_i\) 。
注意其实决策范围是多少都没有关系，只要 \(w\) 有定义就可以。常见的决策范围都是不超过 \(i\) 。
1.3 二维 dp 四边形不等式优化
假设这个 dp 的转移方程式为 \(f_{i,j}=\min\limits_{i\le k<j}\{f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j) \}\)，特别地，\(f_{i,j}=w_{i,i}=0\) 即是一个区间 dp 的转移方程，那么如果下面两个条件成立：
- \(w\) 满足四边形不等式。
- 对于任意的 \(a\le b\le c\le d\) ，有 \(w(a,d)\ge w(b,c)\) ，那么 \(f\) 也满足区间不等式。
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证明：
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当 \(i+1=j\) 的时候，\(f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,i+2}+f_{i+1,i+1}=f_{i,i+2}\)
注意到 \(f_{i,i+2}\) 只有两种决策，且 \(f_{i,i+1}=w(i,i+1)\)
若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策是 \(i+1\) ，那么
\[f_{i,i+2}=f_{i,i+1}+f_{i+2,i+2}+w(i,i+2)\\ =w(i,i+1)+w(i,i+2)\ge w(i,i+1)+w(i+1,i+2)\\ =f_{i+1,i+2}+f_{i,i+1}=f_{i+1,j+1}+f_{i,j} \]其中第二行不等式是因为条件 \(2\) ，第三行需要注意 \(i+1=j\) 。
若 \(f_{i,i+2}\) 的最优决策是 \(i\) ，那么
\[f_{i,i+2}=f_{i,i}+f_{i+1,i+2}+w(i,i+2)\\=w(i+1,i+2)+w(i,i+2)\ge w(i+1,i+2)+w(i,i+1)\\ =f_{i+1,i+2}+f_{i,i+1}=f_{i+1,j+1}+f_{i,j} \]其中第二行不等式是因为条件 \(2\) ，第三行需要注意 \(j+1=i\) 。
所以不管决策是什么，我们都可以得到：\(f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i+1,j+1}+f_{i,j}\)
综上，我们可以得出：当 \(j+1=i\) 时，\(f\) 满足四边形不等式。
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接下来我们使用归纳法，假设当 \(j-i<k\) 的时候四边形不等式对 \(f_{i,j}\) 成立，考虑 \(j-i=k\) 的情况，设 \(f_{i,j+1}\) 以 \(x\) 为最优决策，\(f_{i+1,j}\) 以 \(y\) 为最优决策。不妨设 \(i+1\le x\le y\)，
根据最优性，我们有：
\[f_{i,j+1}+f_{i+1,j}=f_{i,x}+f_{x+1,j+1}+w(i,j+1)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j}+w(i+1,j)\tag1 \]因为对于 \(f_{i,j}\) 和 \(f_{i+1,j+1}\) \(x,y\) 可能并不是最优决策，所以我们有：
\[f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\le f_{i,x}+f_{x+1,j}+w(i,j)+f_{i+1,y}+f_{y+1,j+1}+w(i+1,j+1)\tag{2} \]因为 \(w\) 满足四边形不等式，所以 \(w(i,j+1)+w(i+1,j)\ge w(i,j)+w(i+1,j+1)\)
根据归纳假设，我们也有：
\[f_{x+1,j+1}+f_{y+1,j}\ge f_{x+1,j}+f_{y+1,j+1} \]这是由于我们的不妨设。
所以我们比较一下 \((1)\) 式和 \((2)\) 式，不难得出：
\[f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\ge f_{i,j}+f_{i+1,j+1} \]我们现在关注一下不妨设，注意到 \(y\ge i+1\) 但是 \(x\ge i\) ，如果 \(x=i\) ，这样是平凡的。因为这时 \(f_{i,j+1}=f_{i+1,j+1}\) ，我们很容易证明定理成立。
那么其实如果方程式不是区间 dp 的形式也可以类似证明。
我们现在证明这个东西他有决策单调性：即如果 \(f\) 满足四边形不等式，则 \(f\) 满足决策单调性，换句话说，如果记 \(p_{i,j}\) 为 \(f_{i,j}\) 的最优决策，那么对于任意 \(i<j\) ，有 \(p_{i,j-1}\le p_{i,j}\le p_{i+1,j}\)
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证明：
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记 \(p=p_{i,j}\) ，那么对于任意的 \(i< k\le p\) ，因为 \(f\) 满足四边形不等式，我们有：\(f_{i,p}+f_{i+1,k}\ge f_{i,k}+f_{i+1,p}\) ，移项可以得到：\(f_{i+1,k}-f_{i+1,p}\ge f_{i,k}-f_{i,p}\) ，
根据 \(p\) 的最优性，我们还有：\(f_{i,k}-f_{k+1,j}\ge f_{i,p}+f_{p+1，j}\) ，因此，我们有：
\[f_{i+1,k}+f_{k+1,j}+w(i+1,j)-f_{i+1,p}-f_{p+1,j}-w(i+1,j)\\ =f_{i+1,k}-f_{i+1,p}+f_{k+1,j}-f_{p+1,j}\\ \ge f_{i,k}-f_{i,p}+f_{k+1,j}-f_{p+1,j}\\ =f_{i,k}+f_{k+1,j}-f_{i,p}-f_{p+1,j}\ge 0 \]这意味着，对于 \(f_{i+1,j}\) 来说 \(p\) 比任意 \(k<p\) 更优，因此可以证明：\(p_{i+1,j}\ge p_{i,j}\) ，同理有：
\(p_{i,j-1}\le p_{i,j}\)
1.3.1 二维特例
在方程：\(f_{i,j}=\min\limits_{}f_{k,j-1}+w(k+1,i)\) 中有和上面类似的性质。一般来说，在考试中，通常是打表找规律来发现决策单调性，多试几个数据，输出一下最优决策。如果其他优化都试过了不妨打表找找规律。
但实际上可以证明上述 dp 也具有决策单调性。不过考场上证明真的十分费时间，不如打表找规律。
1.4 四边形不等式例题
1.4.1 P3515 [POI2011]Lightning Conductor
\(\min\) 变 \(\max\) ，\(\le\) 变 \(\ge\) 。
这是一道一维的四边形不等式题目。
1.4.2 P1912 [NOI2009] 诗人小G
仍然是一维。
