自动机入门——AC 自动机
AC 自动机
1 算法简介
AC 自动机是一个以 Trie 为基础结合 KMP 的思想建立的。在 AC 自动机中，每一个状态代表着某个模式串的前缀，而整个 DFA 的结构其实是所有模式串的 Trie 树。
而 AC 自动机可以处理这样一个问题：多模式匹配。即给你若干个模式串和一个主串，要求我们对每一个字符串和主串进行匹配。
我们肯定不能做多次 KMP，所以我们有了 AC 自动机。
2 算法讲解
2.1 状态设计
struct node{
int ch[26],end,fail;
};
其中，ch 数组是 Trie 树的指针，end 是判断这个状态为多少串的节点，fail 指针是后缀链接，指向最长真后缀对应的状态。比如这个动图（其中的黄线是后缀链接）：
其中 \(2\) 节点的指针画错了，应该是指向 \(0\)。
2.2 插入
因为自身结构就是 Trie 的结构，所以 AC 自动机的插入和 Trie 树的插入是一模一样的。
代码：
inline void insert(char *s){
int now=0,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int k=s[i]-'a';
if(!p[now].ch[k]) p[now].ch[k]=++tot;
now=p[now].ch[k];
}
p[now].end++;
}
2.3 建立
在这里，我们需要建立 AC 自动机，Trie 树已经建好了，我们的目的是构建失配指针 fail 。暴力构建的话就是取其父节点，然后不断跳 fail ，直到调到一个状态，它有一条有相同字符的出边。但是这样时间复杂度不优，怎样优化？
我们先上代码：
inline void build(){
queue<int> q;
for(int i=0;i<26;i++) if(p[0].ch[i]) q.push(p[0].ch[i]);
while(q.size()){
int top=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){
if(p[top].ch[i]) p[p[top].ch[i]].fail=p[p[top].fail].ch[i],q.push(p[top].ch[i]);
else p[top].ch[i]=p[p[top].fail].ch[i];
}
}
}
这里我们通过对跳 fail 的路径进行压缩，如果子节点存在，那就好说，我们把 fail 直接连过来就可以，但是如果不存在，我们就采用路径压缩，把其 fail 的子节点连过来，这样就完成了路径压缩。
放图：
2.4 查询
我们接下来分析查询函数 query ，这个函数将实现多模式匹配。我们直接放代码：
inline int query(char *t){
int now=0,res=0,len=strlen(t);
for(int i=0;i<len;i++){
now=p[now].ch[t[i]-'a'];
for(int j=now;j&&~p[j].end;j=p[j].fail) res+=p[j].end,p[j].end=-1;
}
return res;
}
什么意思？注意到我们对于 \(t\) 的每一个前缀，查询一下能匹配这个前缀的字符串，方法就是我们在 Trie 上走，然后对于每一个状态跳后缀链接，累加所有是结束节点的地方，注意因为可能重复调到同一个节点，所以我们要对所有的节点进行标记，这里 ~(-1)=0 ，这是一个很妙的打标记方式。
注意这 ch 是我们建出来的 Trie 图，事实上，也只有 Trie 图才能完成这个操作。如果是平常的 Trie 树，可能最终会无路可走。
如果 Trie 树走到头了，会回到 \(0\) 号节点
2.5 时间复杂度分析
设所有模式串的总长为 \(N\)，主串的长度为 \(m\) ，那么建立 Trie 树的复杂度为 \(O(N)\)，查询时最坏情况是所有的后缀链接都被便利，为 \(O(N)\) ，再加上主串走 Trie 树，复杂度为 \(O(m)\)。
所以总复杂度为 \(O(N+m)\)
2.6 总代码
#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
#define N 1000010
#define M number
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
struct node{
int ch[26],cnt,end,fail;
};
struct AC_automaton{
node p[N];int tot;
inline AC_automaton(){tot=0;}
inline void insert(char *s){
int now=0,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int k=s[i]-'a';
if(!p[now].ch[k]) p[now].ch[k]=++tot;
now=p[now].ch[k];
}
p[now].end++;
}
inline void build(){
queue<int> q;
for(int i=0;i<26;i++) if(p[0].ch[i]) q.push(p[0].ch[i]);
while(q.size()){
int top=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){
if(p[top].ch[i]) p[p[top].ch[i]].fail=p[p[top].fail].ch[i],q.push(p[top].ch[i]);
else p[top].ch[i]=p[p[top].fail].ch[i];
}
}
}
inline int query(char *t){
int now=0,res=0,len=strlen(t);
for(int i=0;i<len;i++){
now=p[now].ch[t[i]-'a'];
for(int j=now;j&&~p[j].end;j=p[j].fail) res+=p[j].end,p[j].end=-1;
}
return res;
}
};
AC_automaton ac;
int n;
char s[N],t[N];
int main(){
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s),ac.insert(s);
scanf("%s",t);
ac.build();printf("%d",ac.query(t));
return 0;
}
2.7 加强版
洛谷上有两次 AC 自动机加强版，分别是：
对于例题 1，你只要把每个字符串出现的次数记下来排序就可以了，代码如下（码风略有点不同），注意 \(end\) 的含义稍微有点变化。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 160
#define M 10001000
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
struct rode{
int id,sum;
char s[N];
inline bool operator < (const rode b){
if(sum!=b.sum) return sum>b.sum;
return id<b.id;
}
};
rode a[N];
char t[M];
struct ACzdj{
int tr[N*100][26],cnt;
int end[N*100];int fail[N*100];
inline void insert(char *s,int id){
int p=0;
for(int i=0;s[i];i++){
int k=s[i]-'a';
if(!tr[p][k]) tr[p][k]=++cnt;
p=tr[p][k];
}
end[p]=id;
}
inline void build(){
queue<int> q;
memset(fail,0,sizeof(fail));
for(int i=0;i<26;i++) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(q.size()){
int top=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){
if(tr[top][i]){
fail[tr[top][i]]=tr[fail[top]][i];
q.push(tr[top][i]);
}
else tr[top][i]=tr[fail[top]][i];
}
}
}
inline void clear(){
memset(tr,0,sizeof(tr));
memset(end,0,sizeof(end));
memset(fail,0,sizeof(fail));
cnt=0;
}
inline int query(char *t){
int p=0,res=0;
for(int i=0;t[i];i++){
p=tr[p][t[i]-'a'];
for(int j=p;j;j=fail[j])
a[end[j]].sum++;
}
return res;
}
};
ACzdj ac;
int main(){
while(1){
memset(a,0,sizeof(a));
ac.clear();
int n=read();
if(!n) break;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",a[i].s);
ac.insert(a[i].s,i);
a[i].id=i;
}
ac.build();
scanf("%s",t);
ac.query(t);
sort(a+1,a+n+1);
printf("%d\n",a[1].sum);
int now=1,minn=a[1].sum;
while(a[now].sum==minn){
printf("%s\n",a[now].s);
now++;
}
}
}
对于例题 2，这个题我们在查询的时候直接这样像例题 1 做，会超时，正确的做法是我们把 fail 树建出来，然后在树上 dp 合并就可以了。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 1600000
#define M 10001000
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
struct edge{
int to,next;
inline void intt(int to_,int ne_){
to=to_;next=ne_;
}
};
edge li[N*10];
int head[N*10],tail;
inline void add(int from,int to){
li[++tail].intt(to,head[from]);
head[from]=tail;
}
struct rode{
int id,sum,belong,end;
};
rode a[N];
struct ACzdj{
int tr[N*10][26],cnt,size[N*10];
int end[N*10];int fail[N*10];
inline int insert(char *s,int id){
int p=0;
for(int i=0;s[i];i++){
int k=s[i]-'a';
if(!tr[p][k]) tr[p][k]=++cnt;
p=tr[p][k];
}
a[id].end=p;
if(!end[p]) end[p]=id;
else return end[p];
return id;
}
inline void build(){
queue<int> q;
memset(fail,0,sizeof(fail));
for(int i=0;i<26;i++) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
while(q.size()){
int top=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){
if(tr[top][i]){
fail[tr[top][i]]=tr[fail[top]][i];
q.push(tr[top][i]);
}
else tr[top][i]=tr[fail[top]][i];
}
}
}
inline void clear(){
memset(tr,0,sizeof(tr));
memset(end,0,sizeof(end));
memset(fail,0,sizeof(fail));
cnt=0;
}
inline int query(char *t){
int p=0,res=0;
for(int i=0;t[i];i++){
p=tr[p][t[i]-'a'];
// for(int j=p;j;j=fail[j])
// a[end[j]].sum++;
size[p]++;
}
return res;
}
};
ACzdj ac;
inline void dp(int k){
for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
int to=li[x].to;
dp(to);
ac.size[k]+=ac.size[to];
}
}
int n;
char s[M],t[M];
int main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i].id=i;
scanf("%s",s);
a[i].belong=ac.insert(s,i);
}
ac.build();
scanf("%s",t);
ac.query(t);
for(int i=1;i<=ac.cnt;i++) add(ac.fail[i],i);
dp(0);
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ac.size[a[i].end]);
// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",a[a[i].belong].sum);
return 0;
}
