数据结构入门——猫树
数据结构入门——猫树
1 简介
线段树的一种扩展，静态查询可以做到 \(O(n\log n)\) 的预处理，\(O(1)\) 的查询，但是不能扩展，只能解决特定问题，因此并不常用。
2 算法简介
猫树是一个线段树的结构，处理每一层的信息我们然后我们向下递归的去处理。
为了方便查询，我们把序列长度扩展到 \(2\) 的幂，然后按照线段树的结构去建整颗树，左右端点的编号分别为 \(2k,2k+1\) ，考虑分治，我们可以用 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度预处理全部的信息。
信息的维护因题而异，下面讲一下如何做到 \(O(1)\) 查询。
因为我们已经将序列长度扩展到 \(2\) 的幂，所以不难发现整棵树有以下性质：
- 每一个节点的二进制长度就是他所在猫树的层数。（根节点在第一层）
- 两个节点的 lca 是他们编号二进制的 lcp。
当然我们只需要知道他们的 lca 在哪一层上就可以了。
实际上，如果设两个节点是 \(a,b\) ，数 \(x\) 的二进制长度为 \(lg_x\)，那么他们 lca 所在层数为 \(lg_a-lg_{a\hat{}b}\)。
3 例题
把区间扩充到 \(2\) 的幂：
while(len<n) len<<=1;
预处理每个数二进制的长度：
for(int i=1;i<=len<<1;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
注意，序列长度为 \(len\) 时，最大节点编号可以达到 \(2\times len\) 的级别。
建树：
inline void build(int k,int l,int r,int deep){
if(l==r){
id[l]=k;
return;
}
int mid=l+r>>1,sum2=a[mid],sum1=a[mid]<0?0:a[mid];
f[mid][deep]=a[mid];g[mid][deep]=a[mid];
for(int i=mid-1;i>=l;i--){
sum1=sum1+a[i];
sum2+=a[i];
f[i][deep]=Max(f[i+1][deep],sum1);
g[i][deep]=Max(g[i+1][deep],sum2);
if(sum1<0) sum1=0;
}
sum2=a[mid+1];sum1=a[mid+1]<0?0:a[mid+1];
f[mid+1][deep]=a[mid+1];g[mid+1][deep]=a[mid+1];
for(int i=mid+2;i<=r;i++){
sum1=sum1+a[i];
sum2+=a[i];
f[i][deep]=Max(f[i-1][deep],sum1);
g[i][deep]=Max(g[i-1][deep],sum2);
if(sum1<0) sum1=0;
}
build(k<<1,l,mid,deep+1);
build(k<<1|1,mid+1,r,deep+1);
}
注意，我们没有必要把整颗树建出来，就是我们不用维护节点之间的父子关系，我们只需要维护该节点所代表的区间的信息就可以。
\(f_{i,d}\) 表示：如果 \(i> mid\) ，那么指的就是 \([mid+1,i]\) 这段区间的最大子段和，否则指的是 \([i,mid]\) 这段区间的最大字段和。
\(g_{i,d}\) 表示：如果 \(i>mid\) ，那么指的就是区间 \([mid+1,i]\) 强制左端点在 \(mid+1\) 的子段的最大子段和。否则指的是区间 \([i,mid]\) 强制右端点在 \(mid\) 的子段的最大字段和，dp 转移就可以。
在 dp 的时候注意 \(f,g,sum_1,sum_2\) 的预处理，在这里挂掉了好几次。
注意，因为我们是在树上查询，我们需要知道序列上每一个点对应的节点是多少。
查询代码：
inline int query(int l,int r){
if(l==r) return a[l];
int d=lg[id[l]]-lg[id[l]^id[r]];
return Max(Max(f[l][d],f[r][d]),g[l][d]+g[r][d]);
}
这个比较显然。
完整代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define int long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
#define N 1000000
#define M number
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int Max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
int n,len=1,lg[N],f[N][30],g[N][30],id[N],a[N],m;
inline void build(int k,int l,int r,int deep){
if(l==r){
id[l]=k;
return;
}
int mid=l+r>>1,sum2=a[mid],sum1=a[mid]<0?0:a[mid];
f[mid][deep]=a[mid];g[mid][deep]=a[mid];
for(int i=mid-1;i>=l;i--){
sum1=sum1+a[i];
sum2+=a[i];
f[i][deep]=Max(f[i+1][deep],sum1);
g[i][deep]=Max(g[i+1][deep],sum2);
if(sum1<0) sum1=0;
}
sum2=a[mid+1];sum1=a[mid+1]<0?0:a[mid+1];
f[mid+1][deep]=a[mid+1];g[mid+1][deep]=a[mid+1];
for(int i=mid+2;i<=r;i++){
sum1=sum1+a[i];
sum2+=a[i];
f[i][deep]=Max(f[i-1][deep],sum1);
g[i][deep]=Max(g[i-1][deep],sum2);
if(sum1<0) sum1=0;
}
build(k<<1,l,mid,deep+1);
build(k<<1|1,mid+1,r,deep+1);
}
inline int query(int l,int r){
if(l==r) return a[l];
int d=lg[id[l]]-lg[id[l]^id[r]];
return Max(Max(f[l][d],f[r][d]),g[l][d]+g[r][d]);
}
signed main(){
read(n);
while(len<n) len<<=1;
for(int i=1;i<=len<<1;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
read(a[i]);
}
build(1,1,len,1);
read(m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int l,r;read(l);read(r);
printf("%lld\n",query(l,r));
}
return 0;
}
