舞蹈链——你也想起舞吗？

Dancing Links X 求解精确覆盖

舞蹈链能够解决这样的一类问题：

给你一个 \(01\) 矩阵，要求你选择一些行，使得所以列上都有其只有一个 \(1\) 在这里面出现。

因为数独问题能够转化成上面这个问题，所以 DLX 是解决数独问题的有力工具。

1 简介

无~~没有在百度百科上找到~~

2 算法讲解

这样的一个题，暴力怎么做？我们肯定是随便选一个节点，然后选这个节点所代表的的这一行，与此同时，代价是所以与这一行有交的行都不能选了。这是一个删除的过程，因为要回溯，我们同时也需要考虑如果恢复。

有一个高效的数据结构可以快速维护这个过程——舞蹈链。

舞蹈链是一个十字循环双向链表，众所周知链表可以方便的插入和删除，所以舞蹈链也擅长这个。我们来看舞蹈链是如何解决上面这个问题的。

这是一个舞蹈链，其中第一行是虚拟节点，其余节点与 \(01\) 矩阵上的 \(1\) 一一对应。

2.1 初始化

    inline void init(int n){
        this->n=n;
        for(int i=0;i<=n;i++) u[i]=i,d[i]=i,l[i]=i-1,r[i]=i+1;
        l[0]=n;r[n]=0;
        size=n+1;
        memset(s,0,sizeof(s));
    }

比较简单不作讲解。

2.2 建舞蹈链

    inline void addrow(int vr,vector<int> vc){
        int first=size;
        for(int i=0;i<vc.size();i++){
            int c=vc[i];
            l[size]=size-1;r[size]=size+1;u[size]=u[c];d[size]=c;
            d[u[c]]=size;u[c]=size;
            row[size]=vr;col[size]=c;
            s[c]++;size++;
        }
        r[size-1]=first;l[first]=size-1;
    }

注意这里 \(vr\) 是行号，然后 \(vc\) 里边存的是这一行是 \(1\) 的节点的列号是多少。

加入一行的时候注意维护循环链表。

2.3 删除与恢复

    #define For(i,a,x) for(int i=a[x];i!=x;i=a[i])
    inline void remove(int c){
        l[r[c]]=l[c];
        r[l[c]]=r[c];
        For(i,d,c) For(j,r,i){
            u[d[j]]=u[j];d[u[j]]=d[j];--s[col[j]];
        }
    }
    
    inline void restore(int c){
        For(i,u,c) For(j,l,i){
            ++s[col[j]];d[u[j]]=j;u[d[j]]=j;
        }
        r[l[c]]=c;
        l[r[c]]=c;
    }

注意我们的参数 \(c\) 是列号，也可以指这一列的那个虚拟节点（虚拟节点的编号是 \(0\) 到 \(n\) ，其中 \(n\) 是列数）

我们删除了这一列（把虚拟节点断开），同时删除了每一个 \(1\) 节点所在行与其他行的联系。我们只是断开了联系，但内部并没有切断。

2.4 递归寻找解

    inline bool dfs(int deep){
        if(r[0]==0){
            anstail=deep;
            return 1;
        }
        int c=r[0];
        For(i,r,0) if(s[i]<s[c]) c=i;
        remove(c);
        For(i,d,c){
            ans[deep]=row[i];
            For(j,r,i) remove(col[j]);
            if(dfs(deep+1)) return 1;
            For(j,l,i) restore(col[j]);
        }
        restore(c);
        return 0;
    }

其中 \(deep\) 指的是选到第几行了，由循环链表可以知道，当虚拟节点右边连到自己时，整张图就都被删完了，而这就对应我们找到了一组解。我们找到列节点数最小的一个节点，因为这样产生的影响最小。注意，因为回溯，删除和恢复的顺序要反过来，否则会 WA 的很惨。对应的，我们选完一列后，我们删除这一列，并删除这一列所有 \(1\) 节点所在行的所有 \(1\) 节点所在列，显然，这些被删除的行都不能选了。